Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > คณิตศาสตร์อุดมศึกษา
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 26 ธันวาคม 2006, 20:42
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

26. $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx = 0 }$ เนื่องจาก $f(x) = \frac{1}{x}$ เป็นฟังก์ชันคี่

27. $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \; dx = 0 }$ เนื่องจาก $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ เป็นฟังก์ชันคี่

28. ถ้า $B$ เป็นเซตนับได้ และ $A \subset B$ จะได้ว่า $A$ เป็นเซตนับได้
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!

26 ธันวาคม 2006 20:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 26 ธันวาคม 2006, 20:44
Timestopper_STG's Avatar
Timestopper_STG Timestopper_STG ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 มกราคม 2006
ข้อความ: 256
Timestopper_STG is on a distinguished road
Send a message via MSN to Timestopper_STG
Post

10)ผมลองแบบนี้ได้ไหมครับให้ A,B เป็นเซต
และ B เป็นเซตปกติ(ไม่เป็นสมาชิกของตัวเอง)
ให้ A={x|(xB)(xB)}
แบบนี้ได้ว่าAเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุดรึเปล่าครับ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
BUT
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 26 ธันวาคม 2006, 23:38
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

โอ้ว้าว พระเจ้าช่วย มีคำถามผุดขึ้นมาเป็นดอกเห็ดเลยครับ

19. จริง
พิสูจน์ : สมมติในทางขัดแย้งว่า $e-\pi$ และ $e\pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ
ดังนั้น $e^2 + \pi^2 = (e - \pi)^2 + 2e\pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ
เราจึงได้ว่า $(e + \pi)^2 = (e^2+\pi^2) + 2e\pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ
ดังนั้น $e+\pi$ เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต
เนื่องจาก $e - \pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ จึงเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตด้วย
เพราะฉะนั้น $\displaystyle{e = \frac{(e-\pi)+(e+\pi)}{2} }$
ก็เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตด้วยเนื่องจากเซตของจำนวนเชิงพีชคณิตเป็นสนาม
จึงเกิดข้อขัดแย้งเพราะว่า $e$ เป็นจำนวนอดิศัย
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 27 ธันวาคม 2006, 01:42
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

เข้ามาเก็บตกต่อครับ

18. เท็จ ข้อความนี้จะจริงถ้าอนุกรมลู่เข้าครับ แต่ตัวอย่างค้านไม่แน่ใจว่าใช้ได้รึเปล่านะครับ กลัวคำนวณพลาด

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{mn}}$ ลู่เข้าหา $\infty$

$\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{mn}}$ ลู่ออกแบบหาลิมิตไม่ได้

20. เท็จ ตัวอย่างเช่น $f(x)=|x|$ ต่อเนื่องที่ทุกจุด แต่ไม่มีอนุพันธ์ที่ 0

21. จริง ถ้าอนุกรมลู่เข้าแล้วลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์เสมอ ในทางกลับกัน ถ้าลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์จะได้ว่าอัตราส่วนร่วมต้องอยู่ในช่วงเปิด (-1,1) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้าด้วย

24. เดาว่าจริง ครับ ที่ยังไม่แน่ใจเพราะว่า มีเทอม $a$ โผล่มาทางด้านซ้ายของอสมการ แต่ถ้าไม่มีเทอมนี้ อสมการจริงโดย Cauchy - Schwarz inequality ครับ

25. ยังไม่แน่ใจคำตอบเหมือนกัน มีบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้ตีพิมพ์ในวารสาร American Mathematical Monthly เมื่อไม่นานมานี้ครับ แต่ผมจำรายละเอียดไม่ได้

26. เท็จ ครับ ปกติแล้ว $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}} f(x) dx$ จะหาโดยใช้นิยามของ principal value ซึ่งนิยามโดย
p.v. $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} f(x) dx}$
ซึ่งจากข้อนี้จะเห็นว่า $\displaystyle{ \int_{-R}^{R} \frac{1}{x} dx}$ หาค่าไม่ได้ จึงสรุปไม่ได้ว่าค่าอินทิกรัลเป็นศูนย์

27. จริง เนื่องจาก $\displaystyle{\frac{x}{1+x^2}}$ นิยามและ integrable ในช่วง $[-R,R]$ ทุกค่า $R>0$ ดังนั้นอินทิกรัลเป็นศูนย์

28. จริง แต่จำมาใช้อย่างเดียวครับ ลืมวิธีพิสูจน์ไปแล้ว
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 27 ธันวาคม 2006, 02:01
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

29. เส้นตรงสี่เส้นที่แต่ละคู่ไม่ขนานกัน ตัดกันในระนาบได้ไม่เกิน 5 จุด

30. สมการวงกลมในระนาบที่แตกต่างกัน 4 สมการมีจุดตัดได้ไม่เกิน 8 จุด

31. มีวิธีการสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 4 รูป โดยใช้ส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากัน 6 เส้น

32. มีวิธีการเรียงกระถางดอกไม้เป็นแถวจำนวน 5 แถว แถวละ 4 กระถาง โดยใช้กระถางดอกไม้แค่ 10 กระถาง

33. มีวิธีการสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 3 หน่วย ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้าน 4 หน่วย

34. ในบรรดารูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีพื้นที่มากที่สุด
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 27 ธันวาคม 2006, 16:19
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:

21. จริง ถ้าอนุกรมลู่เข้าแล้วลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์เสมอ ในทางกลับกัน ถ้าลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์จะได้ว่าอัตราส่วนร่วมต้องอยู่ในช่วงเปิด (-1,1) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้าด้วย

ข้อความจากโจทย์ เป็นเท็จนะครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 27 ธันวาคม 2006, 17:53
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

ข้อ 21. นี่น้อง mastermander ไม่ได้เฉพาะว่ามันเป็นอนุกรมอนันต์ใช่ไหมครับ เพราะฉะนั้น ถ้า finite เทอม ก็หาผลรวมได้เสมอ

ข้อ 26. และ 27. ที่พี่ noonuii ทำ นี่คือมาจาก contour integral รึเปล่าครับ?

ผมไม่แน่ใจเพราะถ้าใช้นิยามของ improper integral นี่ จะได้ว่า

26. เท็จเพราะ $\; \; f(x)=\frac{1}{x}\; \; $ ไม่มีขอบเขตที่ $x=0$ ครับ

27. เท็จเพราะ เราต้องแยกเป็นสอง improper integral คือ
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^2} dx = \int_{-\infty}^{0}\frac{x}{1+x^2} dx + \int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^2} dx\]
ซึ่งพบว่า ทางขวามือลู่ออก จึงสรุปได้ว่าทางซ้ายมือลู่ออกด้วย


29. เท็จ เพราะ ตัดกันได้มากสุด $ \left( \begin{array}{rcl} 4\\ 2 \end{array}\right) = 6 $ จุด

30. เท็จ เพราะ ตัดกันได้มากสุด $ 2\cdot \left( \begin{array}{rcl} 4\\ 2 \end{array}\right) = 12 $ จุด

34. ผมได้ว่าเป็นค่าสุดขีด(แต่ยังไม่ได้ทดสอบว่าสูงสุดหรือต่ำสุด) โดย วิธีพิสูจน์ผมใช้ Lagrange Multiplier มีวิธีง่ายๆไหมครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!

27 ธันวาคม 2006 20:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 27 ธันวาคม 2006, 19:57
Timestopper_STG's Avatar
Timestopper_STG Timestopper_STG ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 มกราคม 2006
ข้อความ: 256
Timestopper_STG is on a distinguished road
Send a message via MSN to Timestopper_STG
Post

31.จริงครับ พิจารณาปีรมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า
32.จริงครับ พิจารณารูปดาว5แฉก
33.เท็จครับ เพราะสามเหลี่ยมดังกล่าวมีพื้นที่43ตร.หน่วยแต่สี่เหลี่ยมมีพื้นที่8ตร.หน่วย
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
BUT
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 27 ธันวาคม 2006, 23:44
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

ข้อ 21 หลงกลครับ ลืมไปว่ายังมีอนุกรมจำกัดด้วยที่ต้องพิจารณา
ข้อ 26 กับ 27 ผมเข้าใจผิดจริงด้วย ค่า principal value จะเท่ากับค่า improper integral ถ้า $f\in L^1(-\infty,\infty)$ ครับ

ข้อ 33 สี่เหลี่ยมมีพื้นที่ 9 ตารางหน่วย ครับ

ข้อ 34 จริง พิสูจน์โดยใช้อสมการ AM - GM ดังนี้
ให้สามเหลี่ยมมีความยาวด้าน $a,b,c$
ให้ $A$ แทนพื่นที่ของสามเหลี่ยม และ $\displaystyle{S=\frac{a+b+c}{2}}$
โดย Heron's Formula จะได้ว่า
$\displaystyle{A =\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}} $
โดย AM - GM เราได้ว่า
$\displaystyle{\sqrt[3]{(S-a)(S-b)(S-c)}\leq \frac{(S-a)+(S-b)+(S-c)}{3} = \frac{S}{3}}$
เพราะฉะนั้น $\displaystyle{A\leq\frac{S^2}{3\sqrt{3}}}$
สมการเป็นจริงเมื่อ $S-a=S-b=S-c\Leftrightarrow a=b=c$

ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมเมื่อกำหนดความยาวเส้นรอบรูปมาให้จะมีค่าสูงสุดก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า ในบรรดาสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีความยาวเส้นรอบรูปน้อยที่สุด
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 28 ธันวาคม 2006, 00:09
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

35.

$$\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } < 3$$

36. The equation $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ has infinitely integer solutions.
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 28 ธันวาคม 2006, 01:25
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

37. ถ้า $0<a<b$ แล้ว $a^a<b^b$

38. ถ้า $0<a<b<1$ แล้ว $a^b<b^a$

39. $|x+y|=|x|+|y|$ ก็ต่อเมื่อ $xy\geq 0$

40. $(x+y+z)^3 > 0 $ ก็ต่อเมื่อ $x^3+y^3+z^3>0$

41. มีจำนวนเฉพาะ $p,q,r$ ที่แตกต่างกันซึ่งทำให้ $\displaystyle{\frac{p}{q}+\frac{q}{r}+\frac{r}{p}}$ เป็นจำนวนเต็ม

42. ถ้า $f,g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $f\circ g$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 28 ธันวาคม 2006, 21:37
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

ของน้อง mastermanderยากๆทั้งนั้นเลยขอรับ

37. เท็จ ครับ ให้ $0< \frac{1}{4} < \frac{1}{2} \rightarrow 0< (\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}} < (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$ ซึ่งไม่จริง

39. จริงขอรับ

42. จริง รึเปล่าครับ แต่ขั้นตอนการพิสูจน์ผมยังติดๆขัดๆ แหะๆๆ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 28 ธันวาคม 2006, 23:04
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
35.$$\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } < 3$$
ให้ $x=\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } }$ จะได้ $\displaystyle\ln x=\ln\prod_{n=2}^{\infty} n^{1/2^{n-1}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{2^{n-1}}$
โดย ratio test จะได้ $\displaystyle\frac{\ln (n+1)/2^n}{\ln n/2^{n-1}}<1$ ผลรวมนี้จึงลู่เข้า แต่ผมยังนึกไม่ออกว่าจะหาผลรวมยังไงครับ
อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
36. The equation $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ has infinitely integer solutions.
ผิด เพราะเมื่อ $x,y,z>1$ จะได้ $\sum x^3>\sum x^2$
เมื่อ $0<x,y,z<1$ จะได้ $0<\sum x^3<\sum x^2$
เมื่อ $x,y,z<0$ จะได้ $\sum x^3<0<\sum x^2$
สมการนี้จึงมี $x=y=z=0$ และั $x=y=z=1$ เป็นคำตอบครับ
อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
41. มีจำนวนเฉพาะ $p,q,r$ ที่แตกต่างกันซึ่งทำให้ $\displaystyle{\frac{p}{q}+\frac{q}{r}+\frac{r}{p}}$ เป็นจำนวนเต็ม
ผิด เพราะหากสมมติให้มีจำนวนเฉพาะ $p,q,r$ ที่แตกต่างกัน และมีจำนวนเต็ม $s$ ที่ $s=\displaystyle{\frac{p}{q}+\frac{q}{r}+\frac{r}{p}}=\frac{p^2r+q^2p+r^2q}{pqr}$
ดังนั้น $pqrs\equiv0\pmod p$ แต่ $pqrs=p^2r+q^2p+r^2q\equiv r^2q\not\equiv 0\pmod p$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 28 ธันวาคม 2006, 23:29
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

ข้อ 36 ผมว่ายังมีกรณีที่ ตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบในขณะที่ที่เหลือเป็นบวก และอีกหลาย combination ทำนองนี้ ด้วยนะครับ ซึ่งกรณีนี้ยากที่จะเดาครับ

ข้อ 42 เท็จครับน้อง Magpie ตัวอย่างไม่ยากด้วยครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 28 ธันวาคม 2006, 23:45
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ข้อ 36 ผมว่ายังมีกรณีที่ ตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบในขณะที่ที่เหลือเป็นบวก และอีกหลาย combination ทำนองนี้ ด้วยนะครับ ซึ่งกรณีนี้ยากที่จะเดาครับ

ข้อ 42 เท็จครับน้อง Magpie ตัวอย่างไม่ยากด้วยครับ
โอเ้คครับ ข้อสามสิบหกผมตกไปหลายกรณีจริงๆ เดี๋ยวจะลองทดดูอีกที
ส่วนข้อสี่สิบสอง ตัวอย่างฟังก์ชันเช่น $f(x)=\cases{x,&x<-1\\ 0,&\text{else}}$ และ $g(x)=0=f\circ g(x)$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Algebra Marathon nooonuii พีชคณิต 199 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08
Trigonometric Marathon Mastermander พีชคณิต 251 24 พฤศจิกายน 2013 21:21
Calculus Marathon (2) nongtum Calculus and Analysis 134 03 ตุลาคม 2013 16:32
Marathon Mastermander ฟรีสไตล์ 6 02 มีนาคม 2011 23:19
Calculus Marathon nooonuii Calculus and Analysis 222 26 เมษายน 2008 03:52

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:38


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha