Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > คณิตศาสตร์อุดมศึกษา
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #31  
Old 29 ธันวาคม 2006, 00:01
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander View Post
36. The equation $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ has infinitely integer solutions.
ในที่สุดก็เจอคำตอบข้อ 36 แล้วครับ ข้อนี้จริง เป็นข้อสอบ Moskov Mathematical Olympiad 1994

ให้ $x= -z$ สมการจะลดรูปเป็น $2x^2+y^2=y^3\Rightarrow 2x^2=y^2(y-1)$

ดังนั้น $\displaystyle{\frac{y-1}{2}=t^2}$ ซึ่งจะได้ $y=2t^2+1,x=t(2t^2+1)$

Edit (warut): quote โจทย์
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

05 พฤษภาคม 2007 22:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #32  
Old 29 ธันวาคม 2006, 09:39
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

ผมพลาดเองจริงๆด้วยครับ แหะๆ

43. ฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ที่นิยามโดย
\[ f = \biggl\{ \begin{array}{ll} 1 &;& x\in \mathbb{Q}\\ 0&;& x\in \mathbb{Q}^c\end{array} \]
เป็นฟังก์ชันที่มีจุดที่ต่อเนื่อง

44. ถ้า $A_1, A_2, ... $ เป็นเซตเปิด แล้ว ${\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n }$ เป็นเซตเปิด

45. ถ้า $A_1, A_2, ...$ เป็นเซตเปิด แล้ว ${\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n }$ เป็นเซตเปิด

46. ถ้า $A_1, A_2, ...$ เป็นเซตปิด แล้ว ${\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n }$ เป็นเซตปิด

47. ถ้า $A_1, A_2, ...$ เป็นเซตปิด แล้ว ${\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n }$ เป็นเซตปิด
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #33  
Old 29 ธันวาคม 2006, 12:33
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

43. เท็จ ครับ ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ทุกจุด
พิสูจน์ : ให้ $x\in\mathbb{R}$
กรณี 1: $x$ เป็นจำนวนตรรกยะ
เนื่องจาก $\mathbb{Q}^c$ เป็น dense set ใน $\mathbb{R}$ เราสามารถสร้างลำดับของจำนวนอตรรกยะ $x_n\to x$ จะเห็นว่า $f(x)=1$ แต่ $f(x_n)=0, \, \forall n\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $f(x_n)\not\to f(x)$

กรณี 2: $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ
เนื่องจาก $\mathbb{Q}$ เป็น dense set ใน $\mathbb{R}$ เราสามารถสร้างลำดับของจำนวนตรรกยะ $x_n\to x$ จะเห็นว่า $f(x)=0$ แต่ $f(x_n)=1, \,\forall n\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $f(x_n)\not\to f(x)$

44. จริง ตามสัจพจน์ของ Topology

45. เท็จ $\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty}\big( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\big) =\{ 0 \}}$ เป็นเซตปิด

46. เท็จ $\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}\big[ \frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\big] =(0,1]}$ ไม่เป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิด

47. จริง ตามสัจพจน์ของ Topology

ป.ล. ยังเหลือข้อ 38,40 ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #34  
Old 29 ธันวาคม 2006, 19:03
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

แหมม พี่ noonuii นี่ รวดเร็วจริงๆครับ เหมาไปเกือบหมดทีเดียว ต่อเลยนะครับ

ให้ $A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ ที่มีค่าเฉพาะ (eigenvalue) เป็น $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ แล้วจะได้ว่า
48. $ \displaystyle{ \det (A) = \prod_{k=1}^{n} \lambda_i }$

49. เซตค่าเฉพาะของ $A^{-1} = \{ \frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, ..., \frac{1}{\lambda_n} \}$

50. ผลบวกเฉียงของเมทริกซ์ $ \displaystyle{ trace (A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i }$
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #35  
Old 29 ธันวาคม 2006, 20:27
Timestopper_STG's Avatar
Timestopper_STG Timestopper_STG ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 มกราคม 2006
ข้อความ: 256
Timestopper_STG is on a distinguished road
Send a message via MSN to Timestopper_STG
Post

51.ณ โลกแห่งอุดมคติมีลูกบอลลูกนึงลอยนิ่งอยู่กลางอากาศ
หลังจากนั้นไม่นานเกิดระเบิดออกเป็น2ส่วน(ในแนวระดับ)ให้ชื่อว่าส่วนA,B
โดยมีอัตราเร็วหลังระเบิดเป็น$u_A,u_B$ตามลำดับเวลา t
ที่เวกเตอร์ความเร็วของทั้ง2วัตถุจะตั้งฉากกันคือที่$\displaystyle{t=\frac{\sqrt{-u_Au_B}}{g}}$
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
BUT
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$

29 ธันวาคม 2006 20:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #36  
Old 29 ธันวาคม 2006, 21:23
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

\[ \displaystyle{\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } < \sqrt {1+2\sqrt {1+3\sqrt {1+4\sqrt {1+...} } } } = 3} \]
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #37  
Old 30 ธันวาคม 2006, 14:06
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
แหมม พี่ noonuii นี่ รวดเร็วจริงๆครับ เหมาไปเกือบหมดทีเดียว ต่อเลยนะครับ

ให้ $A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ ที่มีค่าเฉพาะ (eigenvalue) เป็น $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ แล้วจะได้ว่า
48. $ \displaystyle{ \det (A) = \prod_{k=1}^{n} \lambda_i }$

49. เซตค่าเฉพาะของ $A^{-1} = \{ \frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, ..., \frac{1}{\lambda_n} \}$

50. ผลบวกเฉียงของเมทริกซ์ $ \displaystyle{ trace (A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i }$
จริงทั้งสามข้อครับ
ข้อ 48,50 มอง $A$ ให้เป็น complex matrix เราจะได้ว่ามี invertible matrix $P$ ซึ่งทำให้
$$A=P^{-1}JP$$
เมื่อ $J$ เป็น triangular matrix ที่ main diagonal เป็น eigenvalue ของ $A$ (เราเรียก $J$ ว่า Jordan form ของ $A$)

เนื่องจาก trace($AB$) = trace($BA$) เราจะได้ว่า trace($A$) = trace($J$) = ผลบวกของ eigenvalue ของ $A$

เนื่องจาก determinant เป็น multiplicative function เราจะได้ det($A$) = det($J$) = ผลคูณของ eigenvalue ของ $A$

49. เนื่องจาก $A$ invertible จะได้ว่า det($A$)$\neq 0$ ดังนั้น $0$ ไม่เป็น eigenvalue ของ $A$ ตามข้อ 50
ให้ $v$ เป็น eigenvector ของ $A$ เทียบกับ $\lambda$ จะได้ว่า $Av=\lambda v \Rightarrow \frac{1}{\lambda}v=A^{-1}v$ นั่นคือ $\frac{1}{\lambda}$ เป็น eigenvalue ของ $A^{-1}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #38  
Old 30 ธันวาคม 2006, 21:38
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

จากข้อ 35. เราทราบว่า

$\displaystyle{\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } < 3}$

52.

$\displaystyle{\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } > e}$

True or False ?
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #39  
Old 30 ธันวาคม 2006, 23:43
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

53. มีฟังก์ชันต่อเนื่องจาก [0,1] ไปทั่วถึง $\mathbb{R}$

54. ฟังก์ชันต่อเนื่องที่เป็นฟังก์ชันคาบเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขต

55. มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงจาก [0,1] ไปยัง $\mathbb{R}$

56. พหุนามที่เป็นฟังก์ชันคี่จะมีศูนย์เป็นรากเสมอ

57. มีฟังก์ชันจาก $\mathbb{R}$ ไป $\mathbb{R}$ ที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่เพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้น

58. ทุกฟังก์ชันจาก $\mathbb{R}$ ไป $\mathbb{R}$ สามารถเขียนเป็นผลบวกของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่เสมอ

59. ถ้า $m > n$ แล้ว $\displaystyle{ n^{m^m}<m^{n^m}<m^{m^n}}$

60. $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^n}<2}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #40  
Old 30 ธันวาคม 2006, 23:56
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

60. $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^n}<2} $

จริง
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #41  
Old 31 ธันวาคม 2006, 01:27
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
60. $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^n}<2} $

จริง
พิสูจน์ ??
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #42  
Old 31 ธันวาคม 2006, 11:43
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

60. Prove:

Since \[\ln x<x\quad,\forall x\in\mathbb{N}\]
Hence $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{\ln n}{2^n}<\sum_{n=2}^\infty\frac{n}{2^n}=\frac32<2 $$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ

31 ธันวาคม 2006 23:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #43  
Old 31 ธันวาคม 2006, 12:24
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

ชุดนี้ยากจังครับ จะลองคิดไปเรื่อยๆนะครับ

56. จริง
พหุนามที่เป็นฟังก์ชันคี่ คือ มีเฉพาะพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่เท่านั้น มีศูนย์เป็นรากจริง $Q.E.D.$

57. จริง
ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ นั่นคือ $\; f(-x)=f(x)\; \;$ และ $\; \; f(-x)=-f(x)$
จะได้ว่า $ 2f(x) = f(-x) + f(-x) = f(x) - f(x) = 0 \Rightarrow f(x)=0$ เป็นฟังก์ชันเดียว $Q.E.D.$

58. จริง
Let $\; \displaystyle{ f(x)= \frac{f(x)-f(-x)}{2} + \frac{f(x)+f(-x)}{2} = f_{odd}(x) + f_{even}(x) }\; $
odd part : $\displaystyle{ f_{odd}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}}$ and even part : $\displaystyle{f_{even}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}$
นั่นคือ $f$ ใดๆสามารถเขียนในรูปผลบวกของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ได้เสมอ


61. ให้ $\; \; a, b \; $ เป็นจำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์ แล้วจะได้ว่า
\[ \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\]

62. สำหรับทุก $z\in \mathbb{C}, \; \; \; \mid Re(z) \mid + \mid Im(z) \mid \leq \sqrt{2}\mid z \mid$

63. ให้ $z\in C$ $z$ เป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อ $z=\bar{z}$
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!

31 ธันวาคม 2006 21:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #44  
Old 31 ธันวาคม 2006, 22:57
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

61. จริง ทั้งสองอสมการสามารถพิสูจน์โดยใช้ความจริงที่ว่า $(a-b)^2\geq 0$

แถมให้อีกหนึ่งอันครับ $\displaystyle{\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}}$
อสมการนี้พิสูจน์โดยการจัดรูปใหม่เป็น $\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}$
ซึ่งก็คืออสมการ AM-GM ของ $\displaystyle{\frac{1}{a},\frac{1}{b}}$ นั่นเอง

62. จริง ใช้อสมการที่สองในข้อ 61 หรือใช้ Cauchy-Schwarz inequality ก็ได้ครับ

63. จริง พิสูจน์ตรงๆได้ง่ายมาก

Note : ยังเหลือข้อ 38,40,51,52,53,54,55,59
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

31 ธันวาคม 2006 23:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #45  
Old 31 ธันวาคม 2006, 23:22
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

62.

Let $z=re^{i\phi}$

Then $|z|=r,\;|\Re(z)|+|\Im(z)|=r(|\cos\phi|+|\sin\phi|)$

$r(|\cos\phi|+|\sin\phi|)\leq \sqrt2 r$

ซึ่งจริงเพราะ $\max(|\cos\phi|+|\sin\phi|)=\sqrt2$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Algebra Marathon nooonuii พีชคณิต 199 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08
Trigonometric Marathon Mastermander พีชคณิต 251 24 พฤศจิกายน 2013 21:21
Calculus Marathon (2) nongtum Calculus and Analysis 134 03 ตุลาคม 2013 16:32
Marathon Mastermander ฟรีสไตล์ 6 02 มีนาคม 2011 23:19
Calculus Marathon nooonuii Calculus and Analysis 222 26 เมษายน 2008 03:52

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:56


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha