รบกวนทีคับผมลืมไปเยอะแล้ว อินทิกรัล

[nattaphon]

1.1 จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ ถูกหรือผิด ถ้าถูกให้อธิบายโดยสังเขป ถ้าผิดให้ยกตัวอย่างค้านหรือแก้ไขให้ถูกต้อง

ก) ถ้า $f,g$ เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องบนช่วง $[a,b]$ แล้ว $\displaystyle{ \int_{b}^{a}\! [f(x)-g(x)] dx \leqslant \int_{b}^{a} \! f(x)dx + \int_{b}^{a} \! g(x)dx }$

ข) $\displaystyle{\int^{b}_{a}\!f(g(x))g^{'}(x) dx = \int^{b}_{a}\!f(u)du \textrm{ เมื่อ } u = g(x)}$ \\

1.2 จงหาฟังก์ชั่น $f$ เมื่อกำหนดให้ $\displaystyle{\int^{1}_{x}\!\frac{f(t)}{t^2+1}dt = \ln x}$


ขอคำแนะนำ ด้วยคับ

[owlpenguin]

ขอลอง 1.2 นะครับ
ให้ $\displaystyle\frac{f(t)}{1+t^2}=g(t)$
$\displaystyle\therefore\int_{x}^{1}\frac{f(t)}{1+t^2}dt=-\int_{1}^{x}g(t)dt=\ln{x}$
จาก fundamental theorem of calculus ได้ว่า
$\displaystyle -g(x)=\frac{1}{x}$
$\displaystyle\therefore f(x)=-\left(x+\frac{1}{x}\right)$

[owlpenguin]

1.1 ก ถามนิดนึงนะครับว่าตัวที่ครอบ $f(x)-g(x)$ นี่เป็นวงเล็บใช่ไหมครับ
ถ้าใช่ก็...
Integral มันแยกได้ ก็แยกฝั่งซ้ายกับขวาซะ ได้เป็น $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx\leq\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\Leftrightarrow 2\int_{a}^{b}g(x)dx\geq 0$ ซึ่งเป็นเท็จ ลองให้ $g(x)=-x,a=0,b=1$ ดูครับ

[nattaphon]

สำหรับ comment ที่ 2 ซึ่งตอบคำถามในข้อที่ 1 ok เรยคับ เข้าใจแจ๋มแจ่ง

แต่ขออภัยยังงง comment ที่ 1 ที่ตอบคำถามข้อที่ 2 อ่าคับ รบกวน คุณ owlpenguin ขอความกระจ่างอีกทีคับ

[nattaphon]

สุดยอดเรยคับ ได้คำตอบแล้วคับ ขอบคุณมากคับผม
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundame...em_of_calculus

[nooonuii]

1.1 ข ไม่จริงนะครับ

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1.1 ข ไม่จริงนะครับ

ขอโทษทีครับ... ผมลืมไปว่าถ้าเปลี่ยนตัวแปร แล้วต้องเปลี่ยนช่วงด้วย
ก็ต้องดูว่าในช่วง $[a,b]$ ค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $g(x)$ เท่ากับเท่าไร ก็เอาไปแทนที่ $a,b$ ได้

[nattaphon]

สุดยอดเรยคับ ขอบคุณสำหรับคำแนะนำนะคับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

1.1 ก ถามนิดนึงนะครับว่าตัวที่ครอบ $f(x)-g(x)$ นี่เป็นวงเล็บใช่ไหมครับ
ถ้าใช่ก็...
Integral มันแยกได้ ก็แยกฝั่งซ้ายกับขวาซะ ได้เป็น $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx\leq\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\Leftrightarrow 2\int_{a}^{b}g(x)dx\geq 0$ ซึ่งเป็นเท็จ ลองให้ $g(x)=-x,a=0,b=1$ ดูครับ
1.1 ข ก็นิยามตรงๆเลยครับ
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx=\int_{a}^{b}f(u)\frac{du}{dx}dx=\int_{min(u;a\leq x\leq b)}^{max(u;a\leq x\leq b)}f(u)du$
(มีการปรับแก้แล้วนะครับ)

ยังไม่ถูกครับ เงื่อนไขที่ $g$ จะต้องมีคือการเป็น monotone function

มีการกล่าวถึงปัญหานี้ในกระทู้ Calculus Marathon ดูที่ความเห็นที่ 8 ครับ

[owlpenguin]

ขอโทษทีครับ ผมเองพื้นฐาน cal ก็ไม่แน่น ขอโทษมาละกันนะครับ