โอลิมปิก คณิตศาสตร์ รอบแรก

[nongtum]

แก้ข้อ 2.21 ตามคำทักท้วงของคุณ Passer-by แล้วครับ ตอนนี้มาเพิ่มคำตอบแก้เซ็ง printer เจ๊งอีกสองข้อละกัน

1.6 ตอบข้อ 3
จากโจทย์จะได้ \(f(x)=(x+1)^2, g^{-1}(x)=(x-1)^3-1\)
ดังนั้น \(f(g^{-1}(x))=(g^{-1}(x)+1)^2=(\frac{2}{5})^6=(x-1)^6\) นั่นคือ \(x=\frac{7}{5},\ \frac{3}{5}\)
\(R_r=\{y|y\ge3x^2+1 \bigvee 0<y-3x^2<1\}=(0,\infty)\)

2.3 \(f(x)=27\cdot3^{2x}-3m\cdot3^x+n,\ f(-1)=3-m+n=0\Rightarrow\ m-n=3\)
\(f(\frac{2}{3})=12-2m+n=5\Rightarrow\ 2m-n=7\Rightarrow m=4, n=1\)
\(27\cdot3^{2x}-12\cdot3^x+1=(3\cdot3^x-1)(9\cdot3^x-1)=0\Rightarrow\ x=-1,-2\) ดังนั้นคำตอบคือ 9

[passer-by]

สำหรับข้อ 6 (ตอนที่ 1)
0 < y-3x²<1 มาได้ยังไงครับ รบกวนคุณ nongtum ช่วยอธิบายด้วย

ก่อนจะเฉลยกันต่อ ต้องขอบคุณ คุณ warut (ครั้งที่ 1000 )ที่มาช่วย simplify

ข้อ 19 ตอนที่ 2

จาก สามเหลี่ยม AF₁F₂ apply law of cosine จะได้

(4ึ3)² +(AF₂)²-2(4ึ3)(AF₂)cos(p/3)= 6²

จะได้ AF₂=2ึ3

และจากคุณสมบัติของวงรี AF₁+ AF₂=ความยาวแกนเอก= 2a =6ึ3
ดังนั้น ครึ่งแกนโท \( \large b=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-3^{2}}=3\sqrt{2} \)

จากข้อมูลเกี่ยวกับโฟกัส ก็จะได้ center อยู่ที่ (1,1) และได้สมการวงรี ดังที่เฉลยไว้ในหน้าก่อน

13. (ตอนที่ 2)

จากข้อมูลที่โจทย์ให้ จะคำนวณ ได้ a=p/8 และ BE=1/ึ2

พิจารณาสามเหลี่ยม AEF จะได้ \(\large EF= AF\times tan(\frac{\pi}{16}) \)......(1)
ลากเส้นตั้งฉากจาก B มายัง AF ที่ H จะได้ BH=EF ,HF=BEและ \(\large AH= \frac{EF}{tan(\frac{\pi}{8})} \)

จาก (1) จะได้ \(\large EF=(AH+HF)tan(\frac{\pi}{16}) =(\frac{EF}{tan(\frac{\pi}{8})}+\frac{1}{\sqrt{2}})tan(\frac{\pi}{16})\)

แล้วก็เปลี่ยน tan (p/8) ในเทอมของ tan(p/16) แล้วจัดรูปให้ EF จะได้คำตอบเหมือนที่เขียนไว้หน้าก่อน หรือ จะ simplify ต่อเป็นเหมือนที่คุณ warut บอกก็ได้ครับ

1 (ตอนที่ 2)
ให้ p= 2^k-1 ดังนั้น A=2^k-1ทp
โดยตัวประกอบที่เป็นบวกทั้งหมดของ A คือ 1, d₁,d₂,...d_n=A
(1) Sum of all factors
\(\large \begin{array}{lc} =1+ \sum_{i=1}^{n}d_{i}\\ =1+2+2^{2}+...+2^{k-1}+p+p\cdot2+p\cdot2^{2}+...+p\cdot2^{k-1}\\=(p+1)(1+2+2^{2}+...+2^{k-1})\\=(p+1)(2^{k}-1)\\=2^{k}(2^{k}-1)\end{array} \)

ต่อไป พิจารณา (2) sum of reciprocal of factors
\(\large \begin{array}{lc}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d_{i}}+\frac{1}{1} \\\quad=\frac{\sum_{i=1}^{n}d_{i}+1}{A}\\\quad=\frac{2^{k}(2^{k}-1)}{2^{k-1}(2^{k}-1)}\\\quad =2\end{array} \)

จาก (1),(2) จะได้ sum ที่โจทย์ต้องการคือ (2^k(2^k-1)+2)-1=2^2k-2^k+1

หมายเหตุ : ตอนนี้อยากได้ solution สวยๆ ของข้อ 5 ตอนที่ 2 ครับ เซียนท่านใด ทำได้แบบ complete บอกกันด้วยเน้อ

น้องคนไหนผ่านรอบแรกได้ ก็ต้องไปเตรียมฟิต การพิสูจน์ การอธิบาย และต่างๆอีกมากมาย
ผมมีลางสังหรณ์ ว่ารอบ 2 น่าจะโหดกว่านี้หลายเท่า

[warut]

ข้อ 5 ตอนที่ 2 ผมคิดว่าคำตอบคือ \(b\in(\sqrt2,\infty)\) นะครับ

กำหนดค่าความยาว b, c มาให้ และให้ c เป็นด้านฐานของสามเหลี่ยม จะเห็นว่ามุมที่ด้าน b ทำกับด้าน c แล้วได้รูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุดก็คือมุมฉาก (เพราะจะทำให้มีส่วนสูงมากที่สุด) และจะได้พื้นที่คือ bc/2 ถ้าเราบังคับให้ bc/2 = 1 และ b > c เราจะได้ว่า b > ึ2 (เพราะถ้า b ฃ ึ2 แล้วจะทำให้ c < ึ2 และ bc/2 < 1)

สำหรับทุกจำนวนจริง b > ึ2 เราสามารถสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว b และ c = 2/b ซึ่งจะทำให้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว a > b > c และมีพื้นที่เท่ากับ 1 ตารางหน่วย ตามต้องการครับผม

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
1.6 ...
\(R_r=\{y|y\ge3x^2+1 \bigvee 0<y-3x^2<1\}=(0,\infty)\)

ตรงนี้ได้มาจากการพิจารณาอสมการที่ได้จากการกำจัด \(\sec{x}\ge1 หรือ \le-1\) ครับ

ว่าแล้วก็ลุยกันต่อกับข้อที่ไม่ยากแต่กินแรงมากๆอีกสองข้อ
2.16 ข้อนี้จะแสดงสองวิธีครับ
วิธีแรก ใช้ scalar product
ให้ \(\bar{BD}=(x,y)\) จะได้ \(\bar{OA}\cdot\bar{BD}=8x+2y=0\Rightarrow{}y=-4x\)
ให้ \(|\bar{CA}|=|a\bar{OA}|,\ |\bar{CD}|=|b\bar{BD}|, 0<|a|,|b|<1\) จะได้ \(\frac{1}{2}|a\cdot2\sqrt{17}|\cdot|b\frac{17\sqrt{17}}{8}|=\frac{17}{8} \Rightarrow|ab|=\frac{1}{17}\)
และ \((\frac{17}{8}+(1-b)x,\frac{17}{2}+(1-b)y)=(1-a)(8,2)\) เทียบคู่อันดับและใช้ y=-4x จะได้ \(a=\frac{1}{2},\ b=\frac{2}{17}\)
ดังนั้น \(\frac{15}{17}(x,y)=(4-\frac{17}{8},1-\frac{17}{2})
\Rightarrow(x,y)=(\frac{17}{8},-\frac{17}{2})\)

วิธีที่ 2 ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์
เส้นตรงที่ผ่าน OB, OC และ DC คือ \(y=4x, y=\frac{1}{4}x\ และ\ y=-4x+17\) ตามลำดับ ดังนั้น C(4,1)
พื้นที่สามเหลี่ยม=\(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{17}\cdot|\bar{CD}|=\frac{17}{8}
\Rightarrow |\bar{CD}|=\frac{\sqrt{17}}{4},\ \frac{CD}{BD}
=\frac{\sqrt{17}/4}{\sqrt{17}/4+\sqrt{(15/8)^2+(15/2)^2}}
=\frac{2}{17}\)
\(\frac{15}{17}(x,y)=(\frac{15}{8},-\frac{15}{2})
\Rightarrow(x,y)=(\frac{17}{8},-\frac{17}{2})\)

2.18 เส้นตรง ax+12y+15=0 สัมผัสวงกลม (x-7)²+(y+2)²=4 จะได้ว่า \(2=\frac{|7a-24+15|}{\sqrt{a^2+144}}\) หรือ a=5 ตามเงื่อนไขโจทย์ แต่เนื่องจาก \((12348-p^2)^5\equiv2^2\cdot3^2\cdot7^3\pmod{p}\) จะได้ p=2,3,7 และ \(C_1C_2C_3={10\choose2}2^2(-\frac{1}{2})^8
\cdot{10\choose3}2^3(-\frac{1}{2})^7
\cdot{10\choose7}2^7(-\frac{1}{2})^3=10125\)

ตอนนี้เหลือแต่ข้อที่ต้องใช้กำลังภายในละมังครับ

Edit1: ลงเลขข้อผิด -_-'

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
ข้อ 8 ตอนที่ 2 อันนี้ไม่แน่ใจว่าทำไมตอบได้สองอย่างหรือผมทำผิด ช่วยยืนยันความถูกต้องด้วยครับ
จากโจทย์จะได้ว่า \( p(-2) = 0 , p(-1)=1 \)
ให้ \( p(x) = x^3 +mx^2 +nx +p \)
เนื่องจาก \( p(-2) = -8 +4m-2n +p \) สามเทอมแรกเป็นเลขคู่ ซึ่งจะได้ว่า p ควรเป็น 2 หรือ -2 เท่านั้น

กรณี p=2 ใช้เงื่อนไขทั้งสองจะได้ว่า \( m=3,n=3,p=2 \)
ซึ่งจะได้ว่า \( m^2+n^2+p^2 = 22 \)
และ เศษที่ต้องการ \( p(-5)= -63 \)

กรณี p=-2 ใช้เงื่อนไขทั้งสองจะได้ว่า \( m=1,n=-3,p=-2 \)
ซึ่งจะได้ว่า \( m^2+n^2+p^2 = 14\)
และ เศษที่ต้องการ \( p(-5)=-87\)

เห็นด้วยกับคุณ M@gpie ครับว่าข้อนี้มี 2 คำตอบ คือ -41 (= 22 - 63) และ -73 (= 14 - 87) ไม่ทราบว่าเป็นความตั้งใจของผู้ออกโจทย์รึเปล่า แต่ถ้าต้องการเพียงคำตอบ -41 ก็ควรต้องกำหนดลงไปด้วยว่า p เป็นจำนวนเฉพาะบวก...ผมว่านะ

[passer-by]

Thanks คุณ nongtum ครับ มิน่า ตอนแรกผมถึงไม่ได้ข้อ 3 เพราะลืม case sec xฃ-1 นั่นเอง กลับไปแก้และให้ credit ไว้เรียบร้อยแล้วครับ

ส่วนคำอธิบายข้อ 5 ของคุณ warut ก็ cool มากครับ (ตอนแรกที่ตอบไป พิจารณาแต่ case สามเหลี่ยมมุมฉาก เลยรู้ว่า b>ึ2 แน่นอน แต่ไม่รู้ว่า bฃึ2 จะสรุปอย่างไร)

เอาล่ะ ตอนนี้ก็มาลุยเฉลยกันต่อ

10. (ตอนที่1)
ก. ผิด เช่น \( \large A_{i}=[\frac{-1}{n},\frac{1}{n}] \) จะได้
\(\large sup(\bigcap_{i=1}^{\infty})= 0 \)
แต่ sup{sup(A_i)| iฮN}= 1
ข. ผิด เช่น a=b=1
c=d=ึ2

22. (ตอนที่2)
หาค่า k จากสมการ det(A)det(A-2I)=96 จะได้ k= 23/5
จากนั้นแยกตัวประกอบสมการที่โจทย์ถามต่อ จะได้ L.H.S.=23(x²+1)(x+2)(x²-2x+2) และได้รากจริงคือ -2

23. (ตอนที่ 2)
เพราะ\(\large \sum_{i=1}^{n+1}f(i) -\sum_{i=1}^{n}f(i)=f(n+1) =(n+1)^{2}f(n+1)-n^{2}f(n) \)
จัดรูปใหม่ จะได้
\( \large \frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac{n}{n+2} \)
ดังนั้น
\( \large \prod_{i=1}^{2004}\frac{f(n+1)}{f(n)}=\prod_{i=1}^{2004}\frac{n}{n+2} \)
หรือ \( \large \frac{f(2005)}{f(1)}=\frac{1\cdot 2}{2005\cdot 2006}\) ดังนั้น f(2005)= 1/(1003ท2005)

สำหรับข้อ 9 (ตอนที่ 1) ทำไมคิดไปคิดมาแล้วได้ข้อ 2 เฉยเลย ขอคนกลางมายืนยันคำตอบที่ถูกต้องด้วยครับ

(สรุปว่า ตอนนี้เหลือข้อที่ยังไม่ได้เฉลยคือ ข้อ 9 (ตอนที่ 1) , ข้อ 6,14 ตอนที่ 2 แล้วก็จบบริบูรณ์ สำหรับรอบแรก)

[nongtum]

1.9 ตอบข้อ 2
ใช้เอกลักษณ์ \(\sin^2A=1-\cos^2A,\ \cos(A+B)=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\) แล้วรวมเทอมจะได้ \(-\frac{1}{2}\sin{2x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{2x}
=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})>-\frac{1}{2}
=\sin(-\frac{\pi}{6}),\ \sin(\frac{7\pi}{6}),\ldots\)
ดังนั้น \(-\frac{\pi}{6}<2x+\frac{2\pi}{3}<\frac{7\pi}{6}\) หรือ \(x\in(-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{4})\)
ส่วนคำตอบตัวอื่นได้จากการบวกคาบ=pเข้าไปครับ

2.14 ให้ AC=BC=x, วงกลมรัศมียาว r ต่อ CO ไปพบ AB ที่ D จะได้ว่า CD แบ่งครึ่งมุม ACB และ AOB และ OD=d เป็นระยะทางที่ต้องการหา
โดยกฎของ Sine จะได้ \(\displaystyle\large
{
\frac{\sin\frac{5\pi}{8}}{r}
=\frac{\sin{\frac{3\pi}{4}}}{x}
},
\ d=r\sin{\frac{\pi}{4}}
\) นั่นคือ \(d=x\sin\frac{5\pi}{8}=x\cos{\frac{3\pi}{8}}\)
และ \(\cos{\frac{3\pi}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{1-\cos{\frac{3\pi}{4}}}\)

เหลือแต่ข้อ 2.6 แล้วครับ

[passer-by]

ข้อ 6 (ตอนที่ 2) เป็นข้อที่ ไม่ยาก แต่ ต้องใช้ความรอบคอบอย่างแรง โดยเฉพาะตอนดำเนินการทางเซต

ถ้า C= 4^x+1 หลังจากปลด log และ แยกตัวประกอบจะได้

(C-1)(C-2)(C-4) >0

และทำให้ constraint ใน log ซ้ายมือของอสมการ คือ
C³+2C²+14C-8 = (C-1)(C-2)(C-4) +9C² >0 ไม่มีผล

ดังนั้นเซตคำตอบ A คือ (-1,-0.5)ศ(0,ฅ)

ต่อไป จาก relation ที่โจทย์บอก คือ \( \large y=\frac{16}{x^{2}-4} \)
ดังนั้น D_r= R-{-2,2}
และถ้าจัด relation ใหม่เป็น \( \large x^{2}= \frac{16}{y}+4\)

จะได้ \(\large \frac{16}{y}+4 \geq 0 \)
นั่นคือ R_r=(-ฅ,-4] ศ (0,ฅ)

ซึ่งจะได้ B= (-4,0] ศ{2}

ดังนั้น B-A= (-4,-1] ศ [-0.5,0]

ถ้าไม่มีใครจะมา correct อะไรแล้ว ก็ถือว่า จบบริบูรณ์ซะทีนะครับ

[gon]

ขออนุญาตรื้อฟื้นความหลังกันหน่อย
ข้อ 15 ตอนที่ 2 ผมคิดว่าโจทย์ผิดครับ.

โจทย์บอกว่า พาราโบลา สัมผัสกับ วงกลม และ ให้สมการเส้นสัมผัสวงกลมมา ซึ่งผมคิดว่าเส้นสัมผัสที่ให้มานี้ผิดครับ. เพราะเมื่อพาราโบลาสัมผัสกับวงกลม ส่วนเส้นตรงสัมผัสกับวงกลม , เส้นตรงดังกล่าวก็ย่อมที่จะต้องสัมผัสกับพาราโบลาด้วย กล่าวคือ เส้นตรงนั้นต้องมีความชันสอดคล้องกับ สมการ \(y' = -\frac{2}{y} \)

โจทย์ที่ถูกต้องควรจะเป็น

15. วงกลมรัศมี \(\sqrt{10}\) หน่วย สัมผัสภายนอก โค้งพาราโบลา \(y^2 = -ax , a > 0\, \)ที่จุด A(-1, 2) และ สมการเส้นสัมผัสที่จุด A คือ \(x + y - 1 = 0 \)
จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม AOF เมื่อ O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม และ F เป็นจุดโฟกัสของพาราโบลา

และ คำตอบที่ถูก ควรจะเป็น \( \sqrt{5} \) หน่วย² เห็นด้วยหรือเปล่าครับ.

[warut]

คุณ gon ช่างสังเกตจัง ใช่ครับ...วงกลมไม่ได้สัมผัสกับพาราโบลา จริงๆแล้วมันตัดกัน ถ้าจะแก้ไขโจทย์แบบง่ายๆก็ทำได้โดยเปลี่ยนโจทย์จาก

"สัมผัสภายนอกโค้งพาราโบลา" เป็น "ตัดกับพาราโบลา "

และจาก

"สมการเส้นสัมผัสที่จุด A" เป็น "สมการเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A"

ก็จะได้คำตอบเป็น 3 ตารางหน่วย เช่นเดิมครับ