โจทย์ expo.&log.

[Tony]

1. ถ้า \( a^{x}=\frac{b}{c},b^{y}=\frac{c}{a},c^{z}=\frac{a}{b} \) แล้วจงหาค่าของ xyz+x+y+z
2. what are the largest a and smallest b such that one can prove a< log₁₀2 < b ?
3. ถ้า log2ป0.30103 แล้ว 5²⁰⁰⁵ มีกี่ตำแหน่ง
4. ถ้า 3^x+1-3^x-1 = 24 แล้ว (2x)^(2x) เท่ากับเท่าใด
5. จงหาค่าของ \( log_{9}\frac{27}{81^{\frac{1}{5}}}-log\sqrt{\frac{1}{10}} \)
6. ถ้า \( 2log(x-2y)=logx+logy \) จงหา \( \frac{x}{y} \)

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่1

ขอไม่ใช้ log นะครับ (แหะๆ ทำไม่เป็น )
จาก a^z = \( \displaystyle{\frac{b}{c}}\ \ \) ยกกำลัง yz ทั้งสองข้าง
\(\large \displaystyle{\begin{array}{rcl} a^{xyz}&=&\frac{(b^y)^z}{(c^z)^y}
\\&=&\frac{(\frac{c}{a})^z}{(\frac{a}{b})^y}
\\&=&\frac{c^z}{a^z}\cdot\frac{b^y}{a^y}
\\&=&\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{a^z} \cdot\frac{c}{a} \cdot \frac{1}{a^y}
\\&=&\frac{c}{b}\cdot a^{-y-z}
\\&=&(a^{-x})(a^{1-y-z})
\\ \therefore \ \ a^{xyz}&=&a^{-x-y-z} \end{array}} \)
กรณีที่ 1 a น 1และ a น 0
จะได้ xyz = - x - y - z
\ xyz + x + y + z = 0
กรณีที่ 2 a = 1 และ a น 0
จะได้ x เป็นอะไรก็ได้ ซึ่ง xyz + x + y + z นั้น ก็จะเป็นอะไรก็ได้
สรุปคือก็ R (จำนวนจริง) ครับผม

ปล.a = 0 ไม่ได้นะครับ เพราะส่วนเป้น 0 ไม่ได้

[gon]

เยี่ยมมากเลยครับ. น้อง Tummy สำหรับวิธีคิดข้อ 1. ลูกเล่นเยอะจริง ๆ เด้งไปเด้งมา

[nongtum]

ขอตอบสั้นๆละกันครับ ส่วนวิธีทำทุกข้อตรงไปตรงมา ไม่น่ายาก ^^
3. จำนวนหลัก=2005(1-log2)\(\approx\)1401.4 นั่นคือ 1402 ตำแหน่ง(ปัดขึ้น)
4. \(3^{x-1}(8)=3\cdot8 \Rightarrow\ x=2 \Rightarrow (2x)^{2x}=256\)
5. เทอมในโจทย์ = \(\frac{3}{2}-\frac{2}{5}-(-\frac{1}{2})=\frac{8}{5}\)
6. \((x-2y)^2=xy \Rightarrow (\frac{x}{y}-2)^2=\frac{x}{y} \Rightarrow \frac{x}{y}=1\ หรือ\ 4\) แต่ \(x\ne\ y\) เพราะจะทำให้ log(x)=log(-x) ดังนั้น x/y=4.

Edit1: แก้ข้อสามตามคำท้วงจากคุณ warut

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Tony:
3. ถ้า log2ป0.30103 แล้ว 5²⁰⁰⁵ มีกี่ตำแหน่ง

จำนวนหลักของ 5²⁰⁰⁵ คือ ๋1 + log₁₀5²⁰⁰⁵๛ = 1402 หลักครับ