ข้อนี้คิดไงอ่ะครับ

[Ophatio]

100! หาร 2$^n$ ลงตัว ถามว่า n ที่มากที่สุด คือเท่าไหร่?

[kanakon]

$$\left\lfloor\,\frac{100}{2} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{100}{4} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{100}{8} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{100}{16} \right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{100}{32} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{100}{64} \right\rfloor = 97$$

$$n=97$$

[Ophatio]

อ้อ ใจมากครับ

[teamman]

ผมยัง งง ครับทำไมผมคิดได้มันบวกไม่เห็นได้ 97 เลย มันได้ 98 กว่าครับ แล้วทำไมถึงคิดแบบนี้อ่าครับ ผมงงจัง

[EulerTle]

100! =100x99x98x97x96x95...x1ใช่ใหมครับดังนัน้เราก็ต้องหาว่ามี 2 เป็นตัวประกอบกี่ตัวในผลคูณนี้ โดยหาเลขที่หาร 2 ลงตัวคีอ 4 6 8 และ 10หาจำนวนที่หาร 4ได้ลงตัวตั้งเแต่ 4-100 มี25ตัว(รวมเลข 4เข้าไปด้วย)เพราะ4จะมี 2เป็นตัวประกอบ 2ตัวเสมอ แต่อย่าลีมว่า 8 ซึ่งหาร 4ลงตัวมี 2เป็นตัวประกอบ 3 ตัว
ดังนั้นเราจึงต้องหาเลขที่ต้องหาร 8 ลงตัวตังแต่ 8-96 มี 12ตัว(รวม8เข้าไปด้วย)
มี 2 เป็นตัวประกอบของเลขที่หาร 8ลงตัว=12x3
=36 ตัว
จำนวนที่เหลือสามารถหาร 4 ได้ลงตัวแต่ไม่สามารถหาร 8 ได้ลงตัว=24-12
=12ตัว
มี 2 เป็นตัวประกอบของจำนวนที่สามารถ 4 ได้ลงตัวแต่ไม่สามารถหาร 8 ได้ลงตัว=12x2
=24 ตัว
จากนั้นพิจารณาว่าจำนวนที่สามารถหาร 6 ได้ลงตัวหาร 4และ 8ได้มีกี่ตัวโดยการหา ครณ.ของ4และ6คีอ 12(ไม่ต้องหา ครณ.ของ6และ 8เพราะจำนวนที่หาร 8 ลงตัวก็หาร 4ลงตัวด้วย)จำนวนที่หาร12ลงตัวตั้งแต่ 12-96 มี 8 ตัว จำนวนที่หาร6ลงตัวตั้งแต่ 6-96 มี 16ตัว ดังนั้นมีเลขที่หาร 6 ลงตัวแต่หาร 4และ 8 ไม่ลงตัวมี =16-8 =8 ตัว
มี เลข2เป็นตัวประกอบ 8 ตัว จากนั้นหาว่า จำนวนใดบ้างที่หาร 10ได้ลงตัวแต่หาร 4 6และ 8ไม่ลงตัวมีเพียง 50และ 70เท่านัน้ ดังนั้น ืที่มากที่สุด=36+12+8+2=58

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ EulerTle

100! =100x99x98x97x96x95...x1ใช่ใหมครับดังนัน้เราก็ต้องหาว่ามี 2 เป็นตัวประกอบกี่ตัวในผลคูณนี้ โดยหาเลขที่หาร 2 ลงตัวคีอ 4 6 8 และ 10หาจำนวนที่หาร 4ได้ลงตัวตั้งเแต่ 4-100 มี25ตัว(รวมเลข 4เข้าไปด้วย)เพราะ4จะมี 2เป็นตัวประกอบ 2ตัวเสมอ แต่อย่าลีมว่า 8 ซึ่งหาร 4ลงตัวมี 2เป็นตัวประกอบ 3 ตัว
ดังนั้นเราจึงต้องหาเลขที่ต้องหาร 8 ลงตัวตังแต่ 8-96 มี 12ตัว(รวม8เข้าไปด้วย)
มี 2 เป็นตัวประกอบของเลขที่หาร 8ลงตัว=12x3
=36 ตัว
จำนวนที่เหลือสามารถหาร 4 ได้ลงตัวแต่ไม่สามารถหาร 8 ได้ลงตัว=24-12
=12ตัว
มี 2 เป็นตัวประกอบของจำนวนที่สามารถ 4 ได้ลงตัวแต่ไม่สามารถหาร 8 ได้ลงตัว=12x2
=24 ตัว
จากนั้นพิจารณาว่าจำนวนที่สามารถหาร 6 ได้ลงตัวหาร 4และ 8ได้มีกี่ตัวโดยการหา ครณ.ของ4และ6คีอ 12(ไม่ต้องหา ครณ.ของ6และ 8เพราะจำนวนที่หาร 8 ลงตัวก็หาร 4ลงตัวด้วย)จำนวนที่หาร12ลงตัวตั้งแต่ 12-96 มี 8 ตัว จำนวนที่หาร6ลงตัวตั้งแต่ 6-96 มี 16ตัว ดังนั้นมีเลขที่หาร 6 ลงตัวแต่หาร 4และ 8 ไม่ลงตัวมี =16-8 =8 ตัว
มี เลข2เป็นตัวประกอบ 8 ตัว จากนั้นหาว่า จำนวนใดบ้างที่หาร 10ได้ลงตัวแต่หาร 4 6และ 8ไม่ลงตัวมีเพียง 50และ 70เท่านัน้ ดังนั้น ืที่มากที่สุด=36+12+8+2=58

ผมต้องขอโทษน้อง teamman ด้วยนะครับไม่ได้ดูซะนาน ส่วนของน้อง EulerTle ผมพยายามอ่านแล้วแต่ก็งงแต่คำตอบผมยังยืนยันว่า n=97 นะครับ
ส่วนคำอธิบาย solution ข้างบนอยู่

ที่นี่

$\left\lfloor\,x\right\rfloor $ คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $x$ เช่น $\left\lfloor\,\frac{100}{8}\right\rfloor =12$ ผมใช้วิธีนี้ก็เหมือนกับการหาร 100 ด้วย $2^k$ โดยตัดเศษและ $2^k<100$
$\left\lfloor\,\frac{100}{2}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 2 ลงตัว
$\left\lfloor\,\frac{100}{4}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 4 ลงตัว
$\left\lfloor\,\frac{100}{8}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 8 ลงตัว
$\left\lfloor\,\frac{100}{16}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 16 ลงตัว
$\left\lfloor\,\frac{100}{32}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 32 ลงตัว
$\left\lfloor\,\frac{100}{64}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 64 ลงตัว
ซึ่งเมื่อนำมารวมกันก็จะได้จำนวน 2 ทั้งหมด 97 ตัว
ยกตัวอย่าง 24 จะถูกนับทั้งหมด 3 ครั้งจาก $\left\lfloor\,\frac{100}{2}\right\rfloor ,\left\lfloor\,\frac{100}{4}\right\rfloor ,\left\lfloor\,\frac{100}{8}\right\rfloor $ รวม 3 ตัวแสดงว่า 24 มี $2^3$ เป็นตัวประกอบ พอเข้าใจบ้างมั๊ยครับ

[breeze123]

มันมีวิธีเฉพาะในการหาอยู่คับ
ว่า n! = (m^k)(X) แล้วให้หา K ที่มากที่สุด(mเป็นจำนวนเฉพาะ)
ไปเรียนมาจากสำนักไหนไม่รุอะคับ นานมาแล้ว - -*
สมมุติ
100 !=(2^n)(X)
x คือส่วนที่ไม่มี 2เป็นตัวประกอบ
วิธีที่ร่ำเรียนมาก็คือ
นำ 100 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 50
นำ 50 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 25
นำ25 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 12 (เศษ1)
นำ 12 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 6
นำ 6 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 3
นำ 3 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 1 (เศษ 1)
หารต่อไม่ได้แล้ว
นำผลลัพธ์ทั้งหมดมาบวกกัน ได้k= 50+25+12+6+3+1= 97
ใช้ได้ไม่ว่า n จะเป็นเท่าไหร่(ไม่จำเป็นต้องเป็น 2)
ตรวจคำตอบ(พิสูจน์)
จำนวนตั้งแต่ 1-100 ที่หาร 2 ลง ก็คือ
2,4,6,8,...,96,98,100
(2^50)(1,2,3,4,5,6,...,44,45,46,47,48,49,50)
(2^50)(1,3,5,7,...,49)(2,4,6,8,10,...,50)
(2^50)(2^25)(1,3,5,,...45,47,49)(1,2,3,4,..,23,24,25)
(2^50)(2^25)(1,3,5,,...45,47,49)(1,3,5,7,...,25)(2,4,6,8,...,24)
(2^50)(2^25)(2^12)(1,3,5,...,45,47,49)(1,3,5,...,25)(1,2,3,4,...,12)
(2^50)(2^25)(2^12)(1,3,5,....49)(1,3,5,...,25)(2,4,6,8,10,12)(1,3,5,7,9)
(2^50)(2^25)(2^12)(2^6)(1,3,5,...,49)(1,3,5,...,25)(1,2,3,4,5,6)(1,3,5,7,9)
(2^50)(2^25)(2^12)(2^6)(2^3)(1,3,5,..,49)(1,3,5,...,25)(1,2,3)(1,3,5)(1,3,5,7,9)
(2^50)(2^25)(2^12)(2^6)(2^3)(2^1)(x)
(2^97)(X)=100!
ได้ k=97 เท่ากัน
(ย้ำนะครับ ไม่ใช่ 2 ก็ใช้ได้(แต่ต้องเป็นจำนวนเฉพาะ))
เช่น 15! =(3^k)(x)
ถ้านั่งไล่เอา ก็คือ 3*6*9*12*15 ก็ได้=3^6
ถ้าใช้วิธีข้างบน
15หาร 3 เหลือ 5
5 หาร 3 เหลือ 1 เศษ 2
หารต่อไม่ได้แล้ว
5+1=6
เท่ากัน
**แต่ใช้ได้เฉพาะจำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะนะคับ
ถ้าเป็น อย่างเช่น 10 ก็แปลงเป็น (2^k)(5^k) แล้วค่อยหาอีกที
หรือ15ก็เท่ากับ (3^k)(5^k)

[teamman]

ไม่เปงไรครับ พี่ kanakon
ผมพอเข้าใจแนวคิดแล้วครับ แล้วก็ขอบคุณวิธ๊คิด พี่ kanakon และ ของคุณ breeze123
ที่ช่วยให้ผมกระจ่างมากขึ้นครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ophatio

100! หาร 2$^n$ ลงตัว ถามว่า n ที่มากที่สุด คือเท่าไหร่?

ที่จริงถ้่าจะทำอย่างที่ทำๆกันด้านบน น่าจะเขียนว่า $2^n$ หาร $100!$ มากกว่า เพราะ $100!\not\vert 2^n\,\forall n\in \mathbb{N}$ ครับ

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ophatio

100! หาร 2$^n$ ลงตัว ถามว่า n ที่มากที่สุด คือเท่าไหร่?

$n = \left\lceil\,\frac{100}{2}\right\rceil + \left\lceil\,\frac{100}{2^2}\right\rceil + ........$
$= 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 0 + 0 + ........$
$= 97$

[RoSe-JoKer]

มันหารไม่ลงด้วยซ้ำไม่ใช่เรอะ - -

[dektepteptep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

มันหารไม่ลงด้วยซ้ำไม่ใช่เรอะ - -

จริงเหรอครับ 555+
เก่งจังเลยครับ

[The Got_SME]

แล้วทำไมถึงใช้สูตรได้

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

$n = \left\lceil\,\frac{100}{2}\right\rceil + \left\lceil\,\frac{100}{2^2}\right\rceil + ........$
$= 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 0 + 0 + ........$
$= 97$

สูตรนี้คือสูตรอะไรเหรอครับแล้ว\lceil หมายถึงอะไรเหรอครับ

[singto-lion-simba-sme]

ผมเห็นด้วยกับคุณjumperครับเพราะเขาสุดยอดจริงๆ