ข้อสอบ TMO ครั้งที่ 1 ณ จังหวัดขอนแก่น

[TOP]

หากใครคุ้นเคยกับคำสั่ง UBB เป็นอย่างดีแล้ว อยากได้ Editor ที่ช่วยให้พิมพ์สมการคณิตศาสตร์ง่ายขึ้นไปอีก ลองสังเกตที่ Toolbar ปกติ ทางขวาบนสุดครับ ที่เป็นคำว่า "Editor" ลองคลิกตรงนั้น จะปรากฎเป็นหน้าต่างใหม่ ของ "Math Equation Editor 1.0 Alpha" การแสดงผลใน Editor ตัวนี้จะใกล้เคียงกับ ที่ส่งขึ้นเว็บบอร์ดมากครับ

มี Tips เล็กน้อยๆ ของ การใช้งาน Toolbar เกี่ยวกับ ตัวยก ตัวห้อย ขีดบน ขีดล่าง ขีดทับ ใน "Math Equation Editor 1.0 Alpha" คือ ให้เราเลือกกลุ่มตัวอักษรที่ต้องการ แล้วเลือกคำสั่งเหล่านี้ได้เลยครับ (จะแตกต่างจาก Toolbar ปกติ ที่เราต้องเลือกคำสั่งก่อน แล้วจึงพิมพ์ข้อความลงไป)

ผมว่าหรม 5^2547 -1 ,5^2004-1= 124 นะ เราลองคิดดู+ mathemathca = 5^3 - 1ครับ

[warut]

ข้อ 5 วันแรก (คิดว่ายังไม่มีใครเฉลยนะ แล้วเหลือข้อไหนอีกเนี่ยที่ยังไม่มีเฉลย)
สำหรับข้อนี้วิธีทำของผมก็คล้ายกับที่ผมใช้กับโจทย์ที่คุณ M@gpie เคยเอามาถาม
ดังนั้นเพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้นควรอ่านกระทู้นั้นประกอบด้วยนะครับ

ให้สังเกตว่า x² - 2kx + k² = (x - k)²
ดังนั้นสมการที่เราต้องการแก้ก็คือ ²ⁿS_k=1 | x - k | = | 2nx - n -2n² |
ซึ่งจะเห็นว่าสมการนี้เป็นจริงเมื่อ x ณ 2n หรือ x ฃ 1
ที่เหลือก็คือการแสดงว่าสมการนี้ไม่เป็นจริงเมื่อ 1 < x < 2n

ให้ X = x - (n + 1/2) สมการจะกลายเป็น
ⁿS_j=1 | X - (j - 1/2) | + | X + (j - 1/2) | = 2n| X |

ให้ g(X) = | X - a | + | X + a |, a > 0
จะเห็นว่า
g(X) = 2| X | เมื่อ X ณ a หรือ X ฃ -a
g(X) = 2a > 2| X | เมื่อ -a < X < a
สรุปว่า g(X) ณ 2| X | สำหรับทุกจำนวนจริง X

ดังนั้นในช่วงที่ 1< x < 2n ซึ่งก็คือ -(n - 1/2) < X < (n - 1/2) จะเห็นว่า
| X - (n - 1/2) | + | X + (n - 1/2) | > 2| X |
ดังนั้น ⁿS_j=1 | X - (j - 1/2) | + | X + (j - 1/2) | > ⁿS_j=1 2| X | = 2n| X |
เป็นอันเสร็จสิ้นการพิสูจน์แล้วครับผม

สรุปว่าเซ็ตคำตอบคือ (-ฅ, 1] ศ [2n, ฅ)

[gon]

ที่คุณมาใหม่ว่ามาถูกต้องแล้วครับ. ตอนนั้นไม่รู้ว่าผมหา ห.ร.ม ของ 2547 กับ 2004 ผิดไปหรือเปล่า ที่จริงมันคือ gcd(2547, 2004) = 3 ดันไปเขียนเป็น 7

เอ. รู้สึกว่าจะเหลือข้อ 21) หรือเปล่า

[warut]

ผมว่าข้อ 21 นี่ถ้าไม่รู้สูตรคงทำไม่ทันแน่ ผมใช้แค่ความรู้พื้นฐานทางเรขาคณิตเท่าที่มี
ทำอยู่หลายชั่วโมงจึงได้ว่า

ถ้า a, b, c เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม และให้ s = (a + b + c)/2 แล้วจะได้ว่า
ความยาวรัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม r จะมีค่าเท่ากับ ึ(s - a)(s - b)(s - c)/s
ความยาวรัศมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม R จะมีค่าเท่ากับ abc/(4ึs(s - a)(s - b)(s - c))
และ R/r = abc/(4(s - a)(s - b)(s - c))

จากสูตรข้างต้น ถ้าด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมในโจทย์ยาวเท่ากับ x แล้วจะได้ว่า
21x/(4(x/2 + 2)(x/2 - 2)(5 - x/2)) = 7/2
ให้ y = x/2 จะได้ y³ - 5y² - y + 20 = (y - 4)(y² - y - 5) = 0
ดังนั้น y = 4 ซึ่งก็คือ x = 8 คร้าบ

เย่...ในที่สุดก็ช่วยกันทำจนครบหมดทุกข้อแล้ว

[gon]

เย่ ! ด้วยอีกคนครับ. ได้ยินมาว่าข้อสอบชุดนี้ เป็นข้อสอบชุดแรกที่สอบรวมของศูนย์ สอวน. ทั้ง 12 ศูนย์. ปีหน้าจะมีหรือเปล่าต้องลองดูกันต่อไป

มีครับ ปี 2005 นี้จัดที่มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี มีข่าวอะไรจะมาบอกทันทีครับ

[gon]

รออยู่ครับ. แป๊บเดียวจะครบปีอีกแล้ว.

[jae_bau]

พี่ noonuii ช่วยมาขียนเฉลย ข้อ 6 วันที่ 2 อีกทีได้มั๊ยครับ อ่านไม่รู้เรื่องเลย
ขอบคุณคร๊าบบบบ

[nooonuii]

วันที่สอง ข้อ 6 ครับ ตามคำขอ
จากเงื่อนไขจะได้ว่า
\[ abc \geq \frac{ab+bc+ca}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2} \rightarrow abc \geq 1 \]
โดย Chebychev's inequality จะได้ว่า
\[ a^3+b^3+c^3 \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(a+b+c)}{3} \geq a+b+c \]

[jae_bau]

คารวะ งามๆ สามครั้งเลยครับ สั้นดีแท้ อสมการของจริง
แต่ถ้าไม่ได้เรียนเรื่อง
อสมการของ Chebychev ทำแบบพื้นนี้ จะทำได้มั๊ยครับ พี่ noonuii

[nooonuii]

อีกวิธีคือใช้ power mean inequality ครับ คราวนี้ได้เป็นกรณีทั่วไปเลย
จาก \( abc\geq 1 \) จะได้ว่า \( a+b+c\geq 3 \)
\[ \large{ \frac{a^n+b^n+c^n}{3} \geq (\frac{a+b+c}{3})^n = (\frac{a+b+c}{3}) \dot (\frac{a+b+c}{3})^{n-1} \geq \frac{a+b+c}{3} } \]

[aaaa]

ใช้แค่อสมการ AM-GM ก็พอครับ

โดยอสมการ AM-GM และเงื่อนไขโจทย์ได้ว่า \( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq3\leq a+b+c \) ดังนั้น
\[
\left(a^3+\frac{1}{a}\right)+\left(b^3+\frac{1}{b}\right)+\left(c^3+\frac{1}{c}\right)\geq2a+2b+2c\geq (a+b+c)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)
\]

[jae_bau]

ข้อ 18 ยังไม่มีคนเขียนเฉลยนี่นา ขอซักข้อเถอะครับ แม้มันจะนานแล้ว

b(a² + 1 ) + c(a+1) = ba² + b +ac +c
= ba² + b/2 + b/2 +ac + c/2 + c/2
ณ 6ท[abc]^1/2ท[1/16]^1/6
= 6ท[abc]^1/2ท[1/2]^2/3

\ abc ฃ 64ท[1/2]^4/3/36

เหอๆ คงถูกมั้งครับ

[warut]

เป็นแนวคิดที่สวยงามมากครับ ใช้เทคนิคง่ายๆก็สามารถหา upper bound ที่ดีมาก
ของ abc ได้แล้ว เป็นไปได้ว่าผู้ออกข้อสอบต้องการให้คิดอะไรแนวๆนี้ แต่ว่าอันนี้ยัง
ไม่ใช่ least upper bound ของ abc นะครับ นั่นคือ\[abc=
\frac{32\sqrt[3]2}{9}\approx4.4797\]ไม่มีทางเกิดขึ้นได้จริงถ้าเราบังคับให้ b(a² + 1) + c(a + 1) = 8 อีกอย่างคือโจทย์
ถามหาค่าของ a, b, c ที่ทำให้ abc มีค่าสูงสุด ไม่ได้ถามหาค่าสูงสุดของ abc นะครับ
ผมได้เขียนคำตอบของข้อนี้ที่ผมหามาได้แบบไม่ง่ายนักไว้ที่หน้าแรกของกระทู้นี้แล้วครับ