โจทย์ครับโจทย์...

[Ne[S]zA]

1)จงหาผลสำเร็จของ
$$\sum_{\theta=1}^{89} \log (\sec\theta-\tan\theta)+\sum_{\theta=1}^{89} \log (\csc\theta-\cot\theta)$$

2)ถ้า $a_n=\log_{(n+1)}(n+2)$ และ $f(x)=\sum_{k=1}^x \log a_k$ จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x)=1$

3)จงหาเซตคำตอบ ของสมการ
$$\frac{\tan\theta+\tan 2\theta-\tan 3\theta}{\tan\theta\tan 2\theta\tan 3\theta}=-1$$ บนช่วง $[-\pi,\pi]$

4)ให้ $\alpha = \arcsin(\cos(\arcsin\frac{1}{3}))+\arccos(\sin(\arccos\frac{1}{3}))$ แล้ว $\sec^2\frac{\alpha }{2}+\cot^2\frac{\alpha }{2}$ มีค่าเท่าใด

ช่วยหน่อยนะครับ

[cZech_kUnG]

ข้อ 2 ตอบ 1022 หรือเปล่าครับ ไม่แน่ใจ
ผมพิมพ์ LaTex ไม่เป็นด้วย อะกำลังพยายามศึกษา T_T

[Ne[S]zA]

ผมไม่มีเฉลยอ่ะครับTT

[Ne[S]zA]

ข้อ4)ทำแบบนี้ป่ะครับ ช่วยเช็คด้วยนะครับ
จากโจทย์สมมติให้ $\arcsin(\cos(\arcsin(\frac{1}{3}))=\beta$ และ $\arccos(\sin(\arccos\frac{1}{3}))=\lambda $
ให้ $\cos(\arcsin(\frac{1}{3}))=\cos\theta$ ได้ $\arcsin(\frac{1}{3})=\theta$
ดังนั้น $\sin\theta=\frac{1}{3}$ เพราะฉะนั้น $\cos(\arcsin(\frac{1}{3}))=\cos\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
เพราะฉะนั้น $\arcsin(\cos(\arcsin(\frac{1}{3}))=\arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3}=\beta $
$\therefore \sin\beta=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ และในทำนองเดียวกันได้ $\cos\lambda=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
จากโจทย์รู้ว่า $\alpha =\beta +\lambda $ แต่จากค่าของ $\sin\beta=\cos\lambda=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ทำให้รู้ว่า $\beta +\lambda =90^\circ$ ดังนั้น $\alpha =90^\circ$
จากสิ่งที่โจทย์ให้หาเราได้ว่า $\sec^2\frac{\alpha}{2}+\cot^2\frac{\alpha}{2}=\sec^2\frac{90^\circ}{2}+\cot^2\frac{90^\circ}{2}=\sec^245^\circ+\cot^245^\circ$
$\therefore $ คำตอบคือ $3$
ปล.ช่วยเช็คด้วยนะครับ ขอบคุณครับ

[Ne[S]zA]

ใครผ่านไปผ่ามาช่วยเฉลยข้อ1,2,3 ด้วยนะครับบบ
คิดไม่ออกแล้วครับ
ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[หยินหยาง]

ผ่านมาเห็นขอลองข้อ 3. ให้ก็แล้วกัน คิดแบบคร่าวๆถ้าไม่ผิดก็น่าจะเป็นรูปนี้ครับ
$\theta =$ {$x\left|\,\right. -\pi \leqslant x \leqslant \pi \wedge x \not= 0,\pm \frac{\pi}{6},\pm \frac{\pi}{4},\pm \frac{\pi}{3},\pm \frac{\pi}{2},\pm \pi$ }

[Ne[S]zA]

ขอบคุณมากครับคุณหยินหยาง
เหลือข้อ1กับข้อ2แล้วครับ ขอ hint หน่อยครับ

[-InnoXenT-]

มาตอบข้อ 2 แบบละเอียดให้ละกันครับ เพราะมันง่ายกว่าข้อ 1

$f(x) = 1 = log(log_23)+log(log_34)+log(log_45) + ... + log(log_{(x+1)}(x+2))$

$1 = log((log_23)(log_34)(log_45)...(log_{(x+1)}(x+2)))$

$1 = log(log_2(x+2))$

$10 = log_2(x+2)$

$1024 = x+ 2$
$x = 1022$

[Ne[S]zA]

ขอบคุณครับ คุณ-InnoXenT-

[Ne[S]zA]

ขอปลุกหน่อยนะครับ ขอวิธีทำหรือ hint ข้อแรกหน่อยครับ
ขอบคุณครับ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

1)จงหาผลสำเร็จของ
$$\sum_{\theta=1}^{89} \log (\sec\theta-\tan\theta)+\sum_{\theta=1}^{89} \log (\csc\theta-\cot\theta)$$
ช่วยหน่อยนะครับ

จากโจทย์จะได้ $\sum_{\theta = 1}^{89}log((sec\theta-tan\theta)(csc\theta-cot\theta)) $

ต่้อดูนะคับ

[cZech_kUnG]

ผมทำไม่เสร็จอะ ติดตอนท้ายนิดหน่อย ใครทำได้ต่อให้จบทีครับ

solution

$$\sum_{\theta = 1}^{89}log(sec\theta -tan\theta )+\sum_{\theta = 1}^{89}log(csc\theta -cot\theta )$$

$$ พิจารณา\qquad (sec\theta -tan\theta)(csc\theta-cot\theta)$$

$$=\qquad (\frac{1-sin\theta }{cos\theta })(\frac{1-cos\theta }{sin\theta }) $$

$$=\qquad tan(\frac{90-\theta }{2})tan\frac{\theta }{2} $$

$$แทนกลับไปจะได้\qquad 2log [\prod_{\theta = 1}^{89}tan\frac{\theta }{2}] $$

ปล ไม่รู้ทำแบบนี้แล้วยากกว่าเดิมหรือเปล่า เหอๆ

[teamman]

คือว่า ข้อ 3 ผมได้คำตอบแบบนี้อ่าครับ
$\frac{\pm 2 \pi }{3} ,\frac{\pm \pi }{3}$ อ่าครับ