(สสวท.44) คอร์ด วงกลม

[I am Me.]

กำหนดให้ $m$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งทำให้เส้นตรง $y=mx$ ตัดกับวงกลม $x^2+y^2-2x-4y+3=0$
ที่จุด $A$ และ $B$ โดยที่ $\overline{AB}$ ยาว $2$ หน่วย จงหาว่า $m$ อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้

$1. \left(\,\frac{1}{3},\frac{2}{3} \right) $
$2. \left(\,\frac{2}{3},\frac{4}{5} \right) $
$3. \left(\,\frac{4}{5},\frac{7}{5} \right) $
$4. \left(\,\frac{7}{5},2 \right) $

ขอแค่ขั้นตอนแนวคิดก็ได้ครับ

[Amankris]

hint

คำนวณหาระยะทางจากจุดศุนย์กลางไปยังเส้นตรงใหได้ก่อน

[กิตติ]

ข้อนี้ถ้าไปแก้สมการด้วยการสมมุติตัวแปรเป็นจุดตัด รับรองหน้ามืด ได้HintของคุณAmankrisมาช่วยตามภาพวาด
ทำให้เกิดสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุดยอดที่จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ จุด $(1,2)$ เส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางมาตัดกับคอร์ดวงกลม AB จะแบ่งครึ่งคอร์ด จะได้ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางมายังเส้นตรงเท่ากับ 1 หาได้จากทฤษฎีปิทากอรัส ให้จุดบนเส้นตรงคือ $(x,y)$
$x^2+y^2-2x-4y+3=0$
$(x-1)^2+(y-2)^2=2$

จะได้ว่า $(x-1)^2+(y-2)^2=1$
$(x-1)^2+(mx-2)^2=1$
$(m^2+1)x^2-(4m+2)x+4=0$
สมการนี้จะมีคำตอบเดียว เพราะจุดตัดมีจุดเดียว เมื่อ $(4m+2)^2-16(m^2+1)=0$
จะได้ $m=\frac{3}{4} $

นั่งบื้อแก้สมการเกือบหน้ากระดาษ ดีนะที่เหลือบเห็นHINTจากคุณAmankris ขอบคุณครับ

[I am Me.]

วาดรูปได้ประมาณคุณกิตติ แต่ไม่ได้ลากเส้นจากจุดศูนย์กลางมาตัดกับคอร์ด

โง่ตั้งนาน ขอบคุณทุกคำตอบนะครับ