การพิสูจน์สูตร sin(A+B)

[Far]

พี่ๆคะจะพิสูจน์สูตร sin(A+B) ว่าเท่ากับ sinAcosB + sinBcosA ได้คะ โดยไม่ใช้วิธทางเรขาคณิต

[gon]

การจะพิสูจน์ว่าอะไรมาอย่างไง นี่มันก็ขึ้นอยู่กับว่า เรายอมรับว่าอะไรมาก่อนมาหลัง ครับ. วิชาเรขาคณิตมันเป็นวิชาที่เป็นรากฐานตั้งแต่ 3000 กว่าปีก่อน คือ ตั้งแต่ยุคกรีก หรือ เก่ากว่านั้นเลยทีเดียว

วิชาตรีโกณมิติ เดิมทีมันเป็นวิชาว่าด้วยเกี่ยวสามเหลี่ยมและมุม ดังนั้น ถ้าให้พูดกันอย่างตรง ๆ ว่าเราจะเลี่ยงพิสูจน์โดยไม่อาศัยเรขาคณิตเลยไหม ก็คงตอบว่าไม่ได้ เพราะเรขาคณิตมันมาก่อน และ เป็นรากฐานที่ฝังลึกในทุกเรื่อง

วิธีการพิสูจน์โดยเรขาคณิตที่เห็น ๆ อยู่บ่อย ๆ ก็มี 2 วิธี อันแรกก็คือใช้เรื่องสามเหลี่ยมมุมฉากกันล้วน ๆ ประมาณนั้น ส่วนอีกอันก็เป็นแบบที่ปรากฏในหนังสือเรียน ซึ่งอาศัยวงกลมหนึ่งหน่วยเข้าช่วย วิธีแรกต่างกับวิธีหลัง คือ วิธีแรกค่อนข้างไปจะไปทางเรขาคณิตแบบยุคลิต ส่วนวิธีที่สองก็จะออกมาแนวเรขาคณิตสมัยใหม่ ที่ใช้ระบบพิกัดของจุดบนระนาบ x-y

เราสามารถที่จะเอาความรู้เรื่องเวกเตอร์ไปพิสูจน์สูตรของ sin(A + B) แต่นั่นก็หมายความว่าเรายอมรับไปแล้วว่ามีวิชาเวกเตอร์อยู่จริง แต่เมื่อกลับไปมอง ทฤษฎีต่าง ๆ ของวิชาเวกเตอร์ ก็ล้วนแล้วแต่พิสูจน์มาจากวิชาเรขาคณิต

ในทำนองเดียวกัน เราก็สามารถใช้วิชาจำนวนเชิงซ้อน เช่น ทฤษฎีบทของเดอมัวร์ในการพิสูจน์ ผสมผสานกัน ทฤษฎีทวินาม ในการพิสูจน์เอกลักษณ์ที่ว่าเช่นกัน แต่ตัวทบ. ของเดอมัวร์เองก็มาจากวิชาตรีโกณนั่นล่ะ จะเห็นได้ว่าเราหลีกหนีไม่ได้เลยที่จะพิสูจน์ไปในทางที่ไม่ต้องเกี่ยวข้องเรขาคณิต. คิดว่างั้นนะครับ.

[nooonuii]

สำหรับคนที่เรียนในระดับสูงขึ้นไปอีกอาจจะพิสูจน์สูตรนี้โดยใช้วิชาแคลคูลัสก็ยังได้ครับ
อ้อ เทอมที่แล้วก็เพิ่งพิสูจน์โดยใช้ฟังก์ชันเชิงซ้อนมาครับ สูตรนี้จริงสำหรับจำนวนเชิงซ้อนด้วยครับ

[warut]

ในเรื่องนี้ผมเห็นด้วยกับคุณ gon เป็นอย่างยิ่งครับ ไม่ว่าเราจะเขียนการพิสูจน์ยังไง
ลึกๆแล้วมันก็มาจากเรขาคณิต จริงๆแล้วการพิสูจน์การกระจาย sin(A + B) โดยใช้
ความรู้คณิตศาสตร์สูงๆมันค่อนข้างเสี่ยงเพราะเราอาจลืมไปว่าทฤษฎีที่เราใช้พิสูจน์นั้น
อาจอิงอยู่บนความรู้ของการกระจาย sin(A + B) มาก่อนก็เป็นได้ ถ้าเป็นเช่นนั้นจริง
การพิสูจน์ของเราก็ถือว่าใช้ไม่ได้ครับ

พี่ๆ ช่วยคำตอบของสมการ Ax^3+Bx^2+Cx+D = 0 ให้หน่อยครับ ทำไงอ่ะ ทำไม่เป็น

[gon]

ข้อความเดิมของคุณ <Like Math>:
พี่ๆ ช่วยคำตอบของสมการ Ax^3+Bx^2+Cx+D = 0 ให้หน่อยครับ ทำไงอ่ะ ทำไม่เป็น

ถ้าคำตอบมันไม่ลงตัวสวย ๆ คงไม่มีใครทำกันหรอกครับ มันสุดแสนจะเหนื่อย ในทางทฤษฎีทำได้ครับ แต่ในทางปฎิบัติยุคนี้ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ง่ายกว่า. ลองอ่านบทความเรื่องการแก้สมการกำลัง 3, 4 หรือยังครับ.