Polynomial

[Thgx0312555]

ให้ $P \in \mathbb{Z}[x]$ ($P$ เป็นพหุนามซึ่งมี สปส. เป็นจำนวนจริง) และ $P$ เป็นพหุนามโมนิก
ถ้ามีจำนวนเต็ม $a,b,c,d$ ที่แตกต่างกัน ซึ่ง $P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=5$
จงพิสูจน์ว่า ไม่มีจำนวนเต็ม $k$ ซึ่ง $P(k)=8$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

Proof

From $P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=5$

we get that $(x-a),(x-b),(x-c),(x-d)$ are a factor of $P(x)-5$

Give $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5$

Thus $P(k)=(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)+5$

Suppose $P(k)=8 , k\in \mathbf{Z} $

so $(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3$

but 3 is a prime number , $3=(3)(1)(-1) $

and $(k-a),(k-b),(k-c),(k-d)$ are different integers

so we can't make 3 in form of $(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3$

$\therefore P(k)\not=8 ,\forall k\in \mathbf{Z} $

$Q.E.D.$

[polsk133]

#2
สปส. ของPเป็นจำนวนจริง หนิครับ

Q(k) เป็นเศษส่วนได้หนิครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

เออ โจทย์มันเป็น จำนวนเต็ม นิครับคุณThgx0312555