โจทย์หัดแต่งเองครับ ไม่ยาก

[nooonuii]

กระทู้เริ่มไม่เดินแล้ว งั้นผมให้ Hint ไว้สำหรับข้อที่เหลือครับ

5. Bernoulli $a^r=(1+a^s-1)^{r/s}$

14. ฺำBernoulli

18. พิสูจน์ว่า

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq (a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})$

[nooonuii]

ต่อให้อีก

21. $a,b,c>0$

$\dfrac{a^2+(b-c)^2}{a^2+(b+c)^2}+\dfrac{b^2+(c-a)^2}{b^2+(c+a)^2}+\dfrac{c^2+(a-b)^2}{c^2+(a+b)^2}\geq\dfrac{3}{5}$

22. $\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}>\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}$

23. $a,b,c>0$

$\Big(\dfrac{a^3}{2}+\dfrac{b^3}{3}+\dfrac{c^3}{6}\Big)^2\geq \Big(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{6}\Big)^3$

24. $A,B,C$ เป็นมุมในรูปสามเหลี่ยม

$\sin A+\sin B+\sin C\geq \sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}$

25. $a,b,c\in [0,1]$

$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{1+ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+ca}}$

[No.Name]

23.$a,b,c>0$

$$\displaystyle(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{6})^2\ge (\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{6})^3$$

My Solution

โดยอสการ Power mean

$\displaystyle(\frac{3a^3+2b^3+c^3}{6})^{\frac{1}{3}}\ge (\frac{3a^2+2b^2+c^2}{6})^{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle(\frac{3a^3+2b^3+c^3}{6})^2\ge(\frac{3a^2+2b^2+c^2}{6})^3$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

กระทู้เริ่มไม่เดินแล้ว งั้นผมให้ Hint ไว้สำหรับข้อที่เหลือครับ

5. Bernoulli $a^r=(1+a^s-1)^{r/s}$

Hint เกือบจะเป็นเฉลยเลยครับ ขอบคุณมาก
by Bernoulli
$$(1+(a^r-1))^\frac{s}{r} \ge 1+\frac{s}{r}(a^r-1)$$
$$\Rightarrow r(a^s-1) \ge s(a^r-1)$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ต่อให้อีก

21. $a,b,c>0$

$$\dfrac{a^2+(b-c)^2}{a^2+(b+c)^2}+\dfrac{b^2+(c-a)^2}{b^2+(c+a)^2}+\dfrac{c^2+(a-b)^2}{c^2+(a+b)^2}\geq\dfrac{3}{5}$$

$$\Leftrightarrow 2(\sum_{cyc} a^2)(\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+(b+c)^2}) \ge \frac{18}{5}$$
and by AM.-HM. $$\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+(b+c)^2} \ge \frac{9}{\sum_{cyc} a^2+ \sum_{cyc} (a+b)^2}=\frac{9}{3(\sum_{cyc} a^2)+2\sum_{cyc} ab} \ge \frac{9}{5\sum_{cyc} a^2}$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

18. $a,b,c>0$ อสมการต่อไปนี้เป็นจริงอย่างน้อยหนึ่งอสมการ

$a+b+c\leq a^2+b^2+c^2$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leq \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$

$$ (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq (a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a}{b}+\sum_{cyc} \frac{a}{c} \leq \sum_{cyc} \frac{a^2}{b^2}+\sum_{cyc} \frac{a^2}{c^2}$$
use $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}$ and $xyz=1$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} x+\sum_{cyc} xy \leq \sum_{cyc} x^2+\sum_{cyc} \frac{xy}{z}$$
Which is true by Cauchy and Rearangement

[No.Name]

ข้อ 25.

อยากทราบว่า $a,b,c\in [1,0]$ ตรงนี้หมายถึง $0\le a,b,c \le 1$ หรือเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ข้อ 25.

อยากทราบว่า $a,b,c\in [0,1]$ ตรงนี้หมายถึง $0\le a,b,c \le 1$ หรือเปล่าครับ

ใช่แล้วครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช่แล้วครับ

ขอหลักการคิดแบบ ที่เขากำหนดช่วงค่ามาหน่อยได้ไหมครับ

เพราะไม่เคยเจอเลย

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ขอหลักการคิดแบบ ที่เขากำหนดช่วงค่ามาหน่อยได้ไหมครับ

เพราะไม่เคยเจอเลย

ถ้าตัวแปรติดอยู่ในช่วงเราจะมีอสมการแฝงที่สามารถนำมาใช้ได้ครับเช่น

$a,b\in [0,1]$ พิสูจน์ว่า $1+ab\geq a+b$

เราจะมีอสมการ $1-a\geq 0, 1-b\geq 0$ ซึ่งเมื่อนำมาคูณกันจะได้

$(1-a)(1-b)\geq 0$

$1-a-b+ab\geq 0$

$1+ab\geq a+b$

[จูกัดเหลียง]

งั้นช่วย Hint ข้อที่่เหลือให้หน่อยครับ
เเล้วก็ อสมการอันนี้ (ที่ผมเเต่งเอง)
$a,b,c\ge0$ จงพิสูจน์ว่า
$$a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c\ge 3(ab+bc+ca)$$

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

งั้นช่วย Hint ข้อที่่เหลือให้หน่อยครับ
เเล้วก็ อสมการอันนี้ (ที่ผมเเต่งเอง)
$a,b,c\ge0$ จงพิสูจน์ว่า
$$a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c\ge 3(ab+bc+ca)$$

Am-Gm : $a^3+a\geq 2a^2$
$\therefore a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 3(a^2+b^2+c^2)$
Am-Gm อีกสักรอบ $2(a^2+b^2+c^2)=(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)\geq 2(ab+bc+ca)$
ตามที่ท่านต้องการ ตูม!!!

[nooonuii]

Hint:

22. ทำตรงๆก็ออกนะ แต่ถ้าจะให้ไวก็ Karamata's inequality

24. Jensen's inequality

25. พิสูจน์ว่า

$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq\dfrac{2}{\sqrt{1+ab}}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

25. พิสูจน์ว่า

$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq\dfrac{2}{\sqrt{1+ab}}$

$$\Leftrightarrow \sqrt{(1+a^2)(1+ab)}+\sqrt{(1+b^2)(1+ab)}\leq 2\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}$$
เเละ จากอสมการของ โคชีทาซ้าย $$\sqrt{(1+a^2)(1+ab)}+\sqrt{(1+b^2)(1+ab)}\leq \sqrt{2\left\{\,(1+a^2)(1+ab)+(1+b^2)(1+ab)\right\} }$$
ดังนั้น จึงต้องการพิสูจน์ว่า $$\sqrt{2\left\{\,(1+a^2)(1+ab)+(1+b^2)(1+ab)\right\} }\leq 2\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\ge a+b$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Hint:



24. Jensen's inequality

24. ให้ $f(x)=\sin x(1-2\cos x)$
$$\Rightarrow \sin A(1-2\cos A)+\sin B(1-2\cos B)+\sin C(1-2\cos C)=f(A)+f(B)+f(C)\ge 3 f(\frac{A+B+C}{3})=0$$
ถูกป่าวครับ
ช่วยชี้เเนะ เกี่ยวกับ Diff ให้หน่อยนะครับ

................................................................................