Please check answer

[owlpenguin]

โจทย์ไม่ครบครับ

[CmKaN]

Already change krub ^-^

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

13. Find all $p \in \mathbb{P}$ such that $5^{p^{2}+1} \equiv 0 \pmod{p^{2}}$

Hint:

จะเป็นไปได้หรือถ้า $p\neq 5$

[CmKaN]

Pom dai only 5 please check
Case 1: if $p=5$ --> $5^{p^{2}+1} \equiv 0 \pmod{p^{2}}$
Case 2: if $p \neq 5$ --> $(5,p^{2})=1$
$\phi {p^{2}} = p-1$
$\therefore 5^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^{2}}$
$5^{p^{2}+1} \equiv 5^{p+2} \equiv 0 \pmod{p^{2}}$
$\therefore p | 5$ --><--
$\therefore p=5$

14. $n \in \mathbb{N},n>1$ prove that $((n-1)!+1,n)=n$ <-->$n \in \mathbb{P}$

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

Case 2: if $p \neq 5$ --> $(5,p^{2})=1$
$\therefore 5^{p^{2}+1} \equiv 5^{2} \equiv 0 \pmod{p^{2}}$

บรรทัดล่าง ผมว่ามันแปลกๆ นะ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

14. $n \in \mathbb{N},n>1$ prove that $((n-1)!+1,n)=1$ <-->$n \in \mathbb{P}$

แทน n=4 แล้วไม่จริงครับ ลองเช็คโจทย์ดูอีกทีครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

$\therefore 5^{p^{2}+1} \equiv 5^{2} \equiv 0 \pmod{p^{2}}$

ไม่้เข้าใจบรรทัดนี้ครับ

14. $n \in \mathbb{N},n>1$ prove that $((n-1)!+1,n)=1$ <-->$n \in \mathbb{P}$

โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้นะครับ

Prove that $((n-1)!+1,n)=1$ <-->$n \not \in \mathbb{P}$

Hint :

ขาไปใช้ Wilson's Theorem
ขากลับ สมมติ $n=ab$ เมื่อ $a,b>1$
พิสูจน์ว่า $n\mid (n-1)!$ ทุก $n>4$

[CmKaN]

Sorry krub pimpid
13. case 2 :
$\because (5,p^{2})=1$
$\phi {p^{2}} = p-1$
$\therefore 5^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^{2}}$
$5^{p^{2}+1} \equiv 5^{p+2} \equiv 0 \pmod{p^{2}}$
$\therefore p | 5$ --><--
$\therefore p=5$

P.S. 14. $((n-1)!+1,n)=n$<-->$n \in \mathbb{P}$ krub

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

P.S. 14. $((n-1)!+1,n)=n$<-->$n \in \mathbb{P}$ krub

hint

ขาไป ลองใช้ contrapositive ($p\rightarrow q \equiv$ ~$q\rightarrow$ ~$p$)
ขากลับ wilson เลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

Sorry krub pimpid
13.
$\phi {p^{2}} = p-1$

$\phi(p^2)=p(p-1)$ มิใช่หรือ

ผมทำแบบนี้ครับ

$5^{p^2+1}\equiv 0\pmod {p^2} \Rightarrow p\mid 5^{p^2+1}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow p\mid 5$ (คุณสมบัติของจำนวนเฉพาะ)

[CmKaN]

OOoHh!!! sapao krub

15.Find all $(p,q) ,p,q\in \mathbb{P}$ such that $pq|p^{p}+q^{q}+1$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

OOoHh!!! sapao krub

15.Find all $(p,q) ,p,q\in \mathbb{P}$ such that $pq|p^{p}+q^{q}+1$

นี่เคยเป็นข้อสอบในค่ายสสวท.นี่ครับ

แล้วก็เป็นโจทย์ korea 2007 ดัวยครับ
http://www.imomath.com/othercomp/njdf843/KorMOf07.pdf

[CmKaN]

Plese Check Solution
15. $p,q|pq$ $p,q|p^{p}+q^{q}+1$
$\therefore p^{p}+1 = qm , q^{q}+1 = pn , n,m \in \mathbb{N}$
Case 1: $p=2,q=2$ << no answer
Case 2:$p=2,q \neq 2$
$qm = 5$
$\therefore q=5$
Case 3:$q=2,p \neq 2$
$pn =5$
$\therefore p=5$
Case 4:$p,q > 5$
$p=6k-1,6k+1$ , $q \equiv1,-1 \pmod{6}$
$\therefore p^{p}+1 \equiv2 \pmod{6}$
$p=6k-1 ---> p^{p}+1 = (p+1)(p^{p-1}+...+p-1)=(6k)((6k-1)^{(6k-1)}+...-1) \equiv 0 \pmod{6}$ --><--
$p=6k+1--->p^{p}+1 = (p+1)(p^{p-1}+...+p-1)=(6k+2)6x \equiv 0 \pmod{6}$--><---
$\therefore$ no answer

$\therefore (p,q)=(2,5),(5,2)$

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

Case 4:$p,q \neq 5$ ..............(i)
$qm =p^{p}+1 =(p+1)(p^{p-1}+...-p+1)$
$\because p,q$ is odd number
$\therefore (p+1),(p^{p-1}+...-p+1)$ is even number ..............(ii)
$\therefore q \nmid (p+1)(p^{p-1}+...-p+1)$<<< no answer ..............(iii)

$\therefore (p,q) = (2,5),(5,2)$

(i) ตรงเงื่อนไข น่าจะบอกว่า $p,q \neq 2,5$ ครับ
(ii) ผมคิดว่า $p^{p-1}+...-p+1$ น่าจะเป็นจำนวนคี่นะครับ
(iii) มีจำนวนคี่ที่หารจำนวนคู่ลงตัวด้วยนะครับ

แนะให้นิดนึงครับว่า จากเงื่อนไขของโจทย์ จะเห็นว่าสมมาตรในตัวแปร $p,q$
เพราะฉะนั้น เราแยก case โดยพิจารณาแค่ $p$ ตัวเดียวก็พอครับ (คือ $p=2$ และ $p\neq 2$)
แต่เวลาตอบ อย่าลืมตอบคู่อันดับที่กลับกันด้วยนะครับ (เช่น ถ้าได้คำตอบคือ $(a,b)$ ก็ต้องตอบ $(b,a)$ ด้วยครับ)

[Brownian]

13. Find all prime p such that $5^{p^2+1}\equiv 0(mod p^2)$

ถ้ากรณี โจทย์แบบนี้ก็ตอบ p=5 ผมว่าโจทย์มันคุ้นๆทะแม่งๆ เหมือนว่ามันควรจะเป็น
Find all prime p such that $5^{p^2}+1\equiv 0(mod p^2)$ ซึ่งมันจะดูมีขั้นตอนมากขึ้นมาอีกนิดนึง รึเปล่าครับ?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Brownian

ถ้ากรณี โจทย์แบบนี้ก็ตอบ p=5 ผมว่าโจทย์มันคุ้นๆทะแม่งๆ เหมือนว่ามันควรจะเป็น
Find all prime p such that $5^{p^2}+1\equiv 0(mod p^2)$ ซึ่งมันจะดูมีขั้นตอนมากขึ้นมาอีกนิดนึง รึเปล่าครับ?

ผมว่าน่าจะเป็นแบบนี้แหละครับ ถ้าแบบนี้ก็ได้ $p=3$