ช่วยอธิบายหน่อยคับ

[Platootod]

นี่เป็นครั้งรองสุดท้ายที่ผมจะเข้ามาโพสต์คำถามในเว็บนี้นะคับ
1.จงหา m n เมื่อ m n เป็นจำนวนจริงบวก
เมื่อ\(mn+2m^2n-2mn^2-4m^2n^2=91\)
2.จงหาค่าของ
(1/1+1/3+1/9+1/27+1/81+..........infinity)
3.$\phi$
คือเห็นในคอนกรูเอนซ์
ทบ.ออยเลอร์
ให้ $a\in Z , n\in N$ โดยที่ $(a,n)=1$ จะได้ว่า $$a^{\phi (n)}\equiv 1 (mod n) $$
และ $\phi (n)$ คือ จำนวนของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $k\leqslant n$ และ $(k,n)=1$
เช่น $\phi (p)=p-1 ,p\in prime$ หรือ $\phi (36)=12$ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่า
$$\phi (n)=n(1-1/p_1)(1-1/p_2)...(1-1/p_k)$$ เมื่อ $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot ...\cdot p_k^{a_k}$ เป็นการเขียนรูปแบบบัญญัติ
$\phi$
อันนี้คืออะไรคับ

[nongtum]

ตอนนี้ผมเข้ากูเกิลไม่ได้ เลยลิงค์ให้ไม่้ได้ ตอบคร่าวๆละกันนะ

1. จำนวนจริงบวกหรือครับ น่าจะเป็นจำนวนเต็มบวกมากกว่านะ ไม่งั้นคำตอบจะมีไม่จำกัดครับ
2. มันคือผลรวมอนุกรมเรขาคณิตครับ อาจใช้สูตร $S=\frac{a_1}{1-r}$ หรือแสดงวิธีทำเป็นสมการทีละบรรทัดก็ได้
3. ถ้าคำตอบที่ได้จาก cardan ไม่ใช่จำนวนที่ถอดรากได้ง่ายๆ ก็ติดมันไว้แบบนั้น หรือใช้เครื่องคิดเลขหรือคอมช่วยเถอะครับ
4. มันคือ Euler Phi Function ครับ ลองกูเกิลหรือไปเปิดหนังสือทฤษฎีจำนวนดูนะครับ

ปล. เล่นเวบบอร์ดโปรดใจเย็นๆครับ ไม่มีอะไรที่จะได้อย่างใจตัวเองไปทั้งหมดหรอกน่า

[Platootod]

ผมไม่มีหนังสือสอวนอยู่กับตัวคับช่วยอธิบายข้อ 4 ข้อเดียวก็พอแล้วคับ

[nongtum]

งั้นยกตัวอย่างให้ดูละกัน
เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $\phi (p)=p-1$ เพราะ จำนวนเต็มบวกทุกตัวที่น้อยกว่า $p$ ได้แก่ 1,2,...,$p-1$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $p$
จากกฏการนับ และจาก $\phi$ เป็นฟังก์ชันการคูณ ก็จะได้ $\phi (pู^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac1{p})$ และก็สูตรที่ยกมาด้านบนนั่นเองครับ
ตัวอย่างการคำนวณ เช่น $36=2^2\times3^2$ ดังนั้น $\phi(36)=36(1-\frac12)(1-\frac13)=12$

[Platootod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

งั้นยกตัวอย่างให้ดูละกัน
เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $\phi (p)=p-1$ เพราะ จำนวนเต็มบวกทุกตัวที่น้อยกว่า $p$ ได้แก่ 1,2,...,$p-1$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $p$
จากกฏการนับ และจาก $\phi$ เป็นฟังก์ชันการคูณ ก็จะได้ $\phi (pู^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac1{p^k})$ และก็สูตรที่ยกมาด้านบนนั่นเองครับ
ตัวอย่างการคำนวณ เช่น $36=2^2\times3^2$ ดังนั้น $\phi(36)=36(1-\frac12)(1-\frac13)=12$

ตรงนี้นะคับ
$\phi (pู^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac1{p^k})$
ทำไมไม่เท่ากับอย่างนี้ล่ะคับ
$\phi (6ู^2)=36(1-\frac1{6^2})$
หรือว่าต้องทำให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะคับ
และถ้าคูณกับจำนวนเฉพาะทำไมไม่เท่ากับ
$\phi(36)=36(1-\frac1{2^2})(1-\frac1{3^2})$
จาก
$\phi (pู^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac1{p^k})$
ตรงนี้อ่ะคับงง

[nongtum]

ขอโทษครับ บรรทัดตอนหา $\phi(p)$ ผมพิมพ์เกินเองล่ะ แก้แล้วๆ
ที่เหลือน่าจะถูกต้อง ไม่ต้องแก้อะไรแล้ว (ที่จริงลองอ้างจากที่่ยกมาตอนแรกก็ได้นะ)
แต่ถ้ายังไม่เชื่อผลการคำนวณ ลองแจงดูก็ได้นะครับว่ามีเลขจำนวนเต็มบวก n ตัวใดบ้างที่ (n,36)=1

[Naruto-Su.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ขอโทษครับ บรรทัดตอนหา $\phi(p)$ ผมพิมพ์เกินเองล่ะ แก้แล้วๆ
ที่เหลือน่าจะถูกต้อง ไม่ต้องแก้อะไรแล้ว (ที่จริงลองอ้างจากที่่ยกมาตอนแรกก็ได้นะ)
แต่ถ้ายังไม่เชื่อผลการคำนวณ ลองแจงดูก็ได้นะครับว่ามีเลขจำนวนเต็มบวก n ตัวใดบ้างที่ (n,36)=1

ตรงนี้มันเกี่ยวอะไรกับ $\phi(p)$ คับหรือ
$\phi(p)$คือการหาจำนวนที่ ห.ร.มของ จำนวนที่ได้จากค่า $\phi(p)$ กับ n = 1
งงอ่ะคับ
แล้วทำไมต้องให้เท่ากับ 2และ 3
ให้เท่ากับ 6 ไม่ได้อ่ะคับในเมื่อ
\(6^2=36\)

[nongtum]

#7
ตรงที่เน้นสีผมพิมพ์ข้ามไปเองล่ะ ตั้งใจจะหมายถึง $\phi(36)$ น่ะครับ
ส่วนการคำนวณ จำเป็นต้องเขียนให้อยู่ในรูปบัญญัติก่อนใช้ครับ ไม่งั้นจะนับขาดไปครับ ลองแทนดูในสมการที่เจ้าของกระทู้ยกมาก็ได้

[Naruto-Su.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

#7
ตรงที่เน้นสีผมพิมพ์ข้ามไปเองล่ะ ตั้งใจจะหมายถึง $\phi(36)$ น่ะครับ
ส่วนการคำนวณ จำเป็นต้องเขียนให้อยู่ในรูปบัญญัติก่อนใช้ครับ ไม่งั้นจะนับขาดไปครับ ลองแทนดูในสมการที่เจ้าของกระทู้ยกมาก็ได้

คือผมต้องการถามว่า$\phi$ มันใช่หาค่าอะไรกันแน่ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะให้ -1 ใช่ไหมคับแต่
ถ้าไม่ใช่จำนวนเฉพาะให้ทำแบบคุณ nongtum ใช่ไหมค้บ
แต่เค้าบอกว่าค่าที่ได้ หรม ของค่าที่ได้กับสามสิบหกต้องเท่ากับ หนึ่งแต่หรมของ สิบสองกับสามสิบหกไม่เห้นต้องเท่ากับหนึ่งเลยนี่คับ
ตามนี้อ่ะคับที่บอกว่า หรม ต้องเท่ากับหนึ่ง $\phi (n)$ คือ จำนวนของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $k\leqslant n$ และ $(k,n)=1$แต่อีกอย่างหนึ่งคือรูปบัญญัติคืออะไรคับ

[nongtum]

#9
ข้อสงสัยส่วนใหญ่ที่ถามมา มีตอบไปบ้างแล้วใน #1, #2 และ #4

จากตัวอย่างด้านบน
$\begin{eqnarray}
\phi(36)&=&จำนวนสมาชิกของ\{a\in\mathbb{Z}^+\vert 0<a\le36\ และ\ (a,36)=1\}\\
&=&จำนวนสมาชิกของ\{1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35\} \\
&=&12\\
\end{eqnarray}$

[Platootod]

ถามต่อหน่อยคับ
การเขียนในรูปบัญญัติคืออะไร
ใช่เขียนในรูปการคูณกันของจำนวนเฉพาะหรือปล่าวคับ
แล้วถ้า
\phi(10000)
ยังงี้อ่ะคับจะเขียนในแบบบัญญัติยังไงคับ

[nongtum]

#11
ใช่ครับ เช่น $10000=2^4\times5^4$ เวลาหาค่า $\phi$ ก็ใช้ตัวที่แยกประกอบเสร็จแล้วนี้แหละคิด
พอคิด $\phi$ ได้แล้ว จะเอาค่านี้ไปทำอะไรต่อก็แล้วแต่