|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ ผลบวกกำลังสาม
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=(\frac{n(n+1)}{2} )^2$
|
#2
|
||||
|
||||
ใช้อุปนัยได้ครับ
|
#3
|
||||
|
||||
สำหรับการอุปนัยทางคณิตศาสตร์นะครับ
พิจารณากรณี n=1 จะได้ว่า $1^3=(\frac{1(1+1)}{2})^2$ เป็นจริง ทีนี้สมมติว่ากรณี n=k เป็นจริง คือ $1^3+2^3+3^3+...+k^3=(\frac{k(k+1)}{2})^2$ เป็นจริง พิจารณากรณี n=k+1 จะได้ว่า $1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=(\frac{k(k+1)}{2})^2+(k+1)^3$ $=(k+1)^2(\frac{k^2}{4}+k+1 )$ $=(k+1)^2(\frac{k^2+4k+4}{4} )$ $=(\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2})^2$ ดังนั้นจะสรุปได้ว่าสมการดังกล่าวเป็นจริงครับ |
#4
|
||||
|
||||
จากเอกลักษณ์ของปาสกาล $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r} + \binom{n-1}{r-1}$
ดังนั้น $\binom{n-1}{r-1} = \binom{n}{r} - \binom{n-1}{r}$ แสดงว่า $\binom{r}{r} = \binom{r+1}{r+1} - \binom{r}{r+1} ... (1)$ $\binom{r+1}{r} = \binom{r+2}{r+1} - \binom{r+1}{r+1} ... (2)$ $\binom{r+2}{r} = \binom{r+3}{r+1} - \binom{r+2}{r+1} ... (2)$ ... $\binom{n}{r} = \binom{n+1}{r+1} - \binom{n}{r+1} ... (n-r+1)$ นำสมการทั้งหมดมารวมกันจะได้ $\binom{r}{r} + \binom{r+1}{r} + \binom{r+2}{r} + ... + \binom{n}{r}= \binom{n+1}{r+1} - \binom{r}{r+1}$ แต่นักคณิตศาสตร์นิยามให้ $\binom{n}{r} = 0$ เมื่อ $n < r$ ดังนั้น $\binom{r}{r+1} = 0$ นั่นคือ อ้างอิง:
ดังนั้น $\Sigma_{i=1}^n i^3 = \Sigma_{i=1}^n 6\binom{i+1}{3} + \Sigma_{i=1}^n \binom{i}{1}$ $\Sigma_{i=1}^n i^3 = 6\Sigma_{i=1}^n \binom{i+1}{3} + \Sigma_{i=1}^n \binom{i}{1}$ $\Sigma_{i=1}^n i^3 = 6(\binom{2}{3} + \binom{3}{3} + ... + \binom{n+1}{3}) + (\binom{1}{1} + \binom{2}{1} + ... + \binom{n}{1}) $ $\Sigma_{i=1}^n i^3 = 6(0+ \binom{3}{3} + ... + \binom{n+1}{3}) + (\binom{1}{1} + \binom{2}{1} + ... + \binom{n}{1}) $ ประยุกต์ (*) จะได้ $\Sigma_{i=1}^n i^3 =6\binom{n+2}{4} + \binom{n+1}{2} = 6\frac{(n+2)(n+1)(n)(n-1)}{4!} + \frac{n(n+1)}{2}$ จากนั้นดึงตัวร่วมคือ $\frac{n(n+1)}{4}$ ออกมาก็จบครับ. |
#5
|
||||
|
||||
ใช้เอกลักษณ์นี้เลยครับ
$(k+1)^4-k^4 = 4k^3+6k^2+4k+1$ $$\sum_{k = 1}^{n}(k+1)^4-k^4 = \sum_{k = 1}^{n}4k^3+6k^2+4k+1$$ $$(n+1)^4-1 = 4\sum_{k = 1}^{n}k^3 +6\sum_{k = 1}^{n}k^2+4\sum_{k = 1}^{n}k+\sum_{k = 1}^{n}1$$ $$(n+1)^4-1 = 4\sum_{k = 1}^{n}k^3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n$$ $$n^4+4n^3+6n^2+4n = 4\sum_{k = 1}^{n}k^3+2n^3+3n^2+n+2n^2+3n$$ $$n^4+2n^3+n^2 = 4\sum_{k = 1}^{n}k^3$$ $$n^2(n^2+2n+1) = 4\sum_{k = 1}^{n}k^3$$ $$\dfrac{n^2(n^2+2n+1)}{4} = \sum_{k = 1}^{n}k^3$$ $$\therefore \sum_{k = 1}^{n}k^3 = [\dfrac{n(n+1)}{2}]^2$$ 19 มกราคม 2013 23:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Euler-Fermat |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณทุกคนครับ
|
|
|