โจทย์คณิตศาสตร์โลกช่วงชั้น 2

[nan_piglet]

นักวิ่ง a และ b ถ้าวิ่งบนถนนในแนวราบจะวิ่งได้เร็ว140 เมตร/นาที และ 100 เมตร/นาที ตามลำดับ
แต่ถ้าวิ่งลงเนินความเร็วของเขาแต่ละคนจะเพิ่มขึ้นจากความเร็วในแนวราบ 20 เมตร/นาที และถ้าวิ่งขึ้นเนิน
ความเร็วของเขาแต่ละคนก็จะลดลงจากความเร็วในแนวราบ 20 เมตร/นาที ถ้าเขาเริ่มวิ่งจากบนยอดเนินพร้อมๆกัน
และเมื่อวิ่งลงเนินจนถึงข้างล่าง เขาก็จะวิ่งย้อนกลับขึ้นไปใหม่ กลับไปกลับมาเช่นนี้ตลอด
ถ้าระยะทางเมื่อเริ่มนับจากตำแหน่งที่เขาวิ่งสวนกันครั้งที่ 3 เช่นกัน คิดเป็นระยะทาง 200 เมตร

จงหาระยะทางทั้งหมดของเนินเขาแห่งนี้

[คusักคณิm]

391.96 ครับ


วิธีทำ ค่อนข้าง ซับซ้อน คือสมมุติให้ เชิงเนิน ถึงยอด ระยะทาง x


หลักๆคือ หาจุดสวนทางครั้งที่ สาม ของ A กับ B โดย ให้จุดนี้อยู่ห่างจากเชิงเนิน ระยะ N


จะได้ว่า A วิ่ง ลง x ขึ้น x ลง x แล้ว ขึ้น N


B ลง x ขึ้น x ลง x-N โดย เวลาของทั้ง Aและ B จะเท่ากัน ก็หา N = (29/130) x


จากนั้นให้มองว่า การวิ่งขึ้นลง มีความเร็วเฉลี่ยต่อรอบ เท่ากับเท่าไหร่ ของ A มีความเร็ว เฉลี่ย ต่อรอบ = 960/7 B = 350/3


จากนั้นคำนวณดูว่า ถ้า A แซง B เป็นครั้งที่ 3 แสดงว่า ระยะทาง A- ระยะทาง B = 6x


จะได้ระยะทาง A ใน term x = (1728/43) x หรือ 40x กว่าๆ


แสดงว่า A จะแซง B ในครั้งที่ 3 เมื่อ A วิ่งไปได้ 20 รอบ และ B วิ่งไปได้ 17 รอบ


ก็นำมาคำนวณแบบ ละเอียด คือไม่ใช้ความเร็วเฉลี่ย แต่ใช้ความเร็วขาขึ้นขาลงแต่ละรอบ


ก็จะได้จุดที่แซงกัน ครั้งที่ 3 ใน term x = (4/15)x


จากนั้น เข้าสมการ (4/15)x + (29/130)x + 200 = x


แก้สมการ หาค่า X ได้ = 391.96 ครับ

จากวิชาการครับๆๆ

[banker]

สรุปความเร็ว ระยะทางของเนิน (x เมตร) ตามเรูปข้างล่างนี้



ตอนแรก เริ่มต้นลงเนิน แน่นอนว่า a ต้องถึงเชิงเนินก่อน b
ตอนที่ a ถึงเชิงเนิน ใช้เวลา $\frac{x}{160}$ นาที
เวลา $\frac{x}{160}$ นาที b เพิ่งลงมาได้ระยะทาง $\frac{x}{160} \cdot 120 $ = $\frac{3}{4} x $ เมตร



ขณะนี้ ระยะทาง a กับ b ห่างกัน $\frac{1}{4}x$
ทั้งสองสวนทางกันครั้งแรกที่ ตำแหน่งหมายเลข 1 โดย a วิ่งขึ้น และ b วิ่งลง ด้วยความเร็วเท่ากัน (120 เมตรต่อนาที) จึงพบกันที่จุดกึ่งกลาง

สรุปว่า สวนกันครั้งแรก ที่ตำแหน่ง $\frac{1}{8}x$ จากเชิงเนิน

หลังสวนทางกัน a ก็ขึ้นเนินต่อด้วยระยะทาง $\frac{7}{8}x$ เมตร ก็ถึงยอดเนิน
ระยะทาง $\frac{7}{8}x$ เมตร a ใช้เวลา $\frac{\frac{7x}{8}}{120}$ = $\frac{7x}{8\cdot 120}$นาที

ทีนี้มาดู b หลังจากสวนทาง b ก็ลงเนินด้วยความเร็ว 120 เมตรต่อนาที ระยะทาง $\frac{1}{8}x$ ใช้เวลา $\frac{x}{8\cdot 120}$ นาที ก็ถึงเชิงเนิน

เหลือเวลาที่ b ขึ้นเนิน $\frac{7x}{8\cdot 120} - \frac{x}{8\cdot 120} = \frac{6x}{8\cdot 120} $ นาที

เวลา $\frac{6x}{8\cdot 120} $ นาที b ขึ้นไปได้เระยะทาง $\frac{6x}{8\cdot 120} \cdot 80 = \frac{1}{2}x$

ถึงตรงนี้ a อยู่ยอดเนิน และ b อยู่กึ่งกลางเนิน ดังรูป


ทั้งสองวิ่งเข้าหากัน และสวนกันครั้งที่ 2
1 นาที ทั้งสองวิ่งเข้าหากันได้ระยะทาง 160+80 = 240 เมตร
ระยะทาง $\frac{1}{2}x$ ใช้เวลา $\frac{x}{2\cdot 240}$ นาที

เวลา $\frac{x}{2\cdot 240}$ นาที a วิ่งลงได้ระยะทาง $\frac{x}{2\cdot 240}\cdot 160 = \frac{1}{3}x$

สรุปว่า สวนทางครั้งที่ 2 ที่ตำแหน่ง $\frac{1}{3}x$ จากยอดเนิน



b วิ่งขึ้นเนินต่อ ถึงยอด (ระยะทาง $\frac{1}{3}x$ ด้วยความเร็ว 80 เมตรต่อนาที)
b ใช้เวลา $\frac{x}{3 \cdot 80}$ นาที

ขณะเดียวกัน a ก็วิ่งลง
ตอนที่ b ถึงยอดใช้เวลา $\frac{x}{3 \cdot 80}$ นาทีนั้น a วิ่งลงได้ระยะทาง $\frac{x}{3 \cdot 80}\cdot 160$ = $\frac{2}{3} x$ นาที ซึ่งถึงเชิงเนินพอดี

สรุปตรงนี้ว่า b อยู่ยอดเนิน และ a อยู่เชิงเนิน จะวิ่งเข้าหากันด้วยความเร็วที่เท่ากันคือ 120 เมตรต่อนาที

ความเร็วเท่ากัน จะสวนกันหรือพบกันที่กึ่งกลางทางพอดี

แต่โจทย์บอกว่า = 200 เมตร

ดังนั้นเนินนี้จึงมีระยะทาง 400 เมตร ANS

[nan_piglet]

ขอบคุณค่ะ


จำนวนเต็ม 12 จำนวน ได้แก่ 1,2,3,...,12 นำมาจัดเรียงล้อมรอบเป็นรูปวงกลมคล้ายกับตัเลขบนหน้าปัดนาฬิกา
โดยกำหนดให้ค่าแตกต่างของจำนวนที่อยู่ติดกันสองจำนวนใดๆเป็น 2,3,4 ค่าใดค่าหนึ่ง
จากการเรียงภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว จะสามารถทำให้เกิดค่าแตกต่างเท่ากับ 4 ได้มากที่สุดกี่ครั้ง

[Furry]

ข้อหลังนี้ตอบ7ครั้งครับ..แต่ข้อแรกโจทย์ช่วงสุดท้าย..''ถ้าระยะทางเมื่อเริ่มนับจากตำแหน่งที่เขาวิ่งสวนกันครั้งที่ 3 เช่นกัน คิดเป็นระยะทาง 200 เมตร'' ผมอ่านแล้วงงงง.....อยากขอเปลี่ยนเป็น..'' ถ้าระยะทางจากยอดเนินถึงตำแหน่งที่เขาวิ่งสวนกันครั้งที่ 3 เป็น 200 เมตร '' ก็จะตรงตามที่คุณbankerสรุปช่วงท้ายพอดี...แต่โจทย์ที่เคยพิมพ์เผยแพร่โดยสสวท.เป็นดังนี้..''ถ้าจุดที่นักวิ่งAและBวิ่งสวนกันครั้งที่ สามห่างจากจุดที่นักวิ่งAวิ่งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่สามเป็นระยะทาง200เมตร''...ถ้ายึดตามสสวท.ก็ต้องไปหาว่าจุดที่นักวิ่งAวิ่ งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่สามอยู่ตรงไหนเสียก่อน..จึงจะหาระยะทางจากยอดเนินถึงเชิงเนินได้...

[nan_piglet]

ข้อหลังนี้คิดยังไงหรอคะ

ขอบคุณสำหรับแนวคิดดีๆนะคะ

[banker]

ตอบคำถามคุณnan_piglet

สรุป a และ b สวนกันครั้งที่ 3 ตรงกึ่งกลางเนิน

เมื่อ a ถึงยอดเนิน b ก็ถึงเชิงเนิน (ความเร็วเท่ากัน ระยะทางเท่ากัน)

คราวนี้มาดูว่า a จะแซง b ตรงไหน (a อยู่ยอดเนิน b อยู่เชิงเนิน)


a ลงเนินด้วยความเร็ว 160 เมตรต่อนาที ถึงเชิงเนินใช้เวลา $ \frac{x}{160}$ นาที
เวลา $ \frac{x}{160}$ นาทีนาที b ขึ้นไปได้ระยะทาง $ \frac{x}{160} \times 80$ = $ \frac{x}{2} $ เมตร


ตอนนี้ a (อยู่เชิงเนิน) เริ่มกวด b ซึ่งอยู่กึ่งกลางเนิน

ระยะทาง $ \frac{x}{2} $ เมตร b ใช้เวลา $ \frac{x}{2}\times \frac{1}{80} $ นาที ก็ถึงยอดเนิน

เวลา $ \frac{x}{2}\times \frac{1}{80} $ นาที a ขึ้นไปได้ระยะทาง เวลา $ \frac{x}{2}\times \frac{1}{80} \times 120 = \frac{3x}{4} $ เมตร

สรุปภาพตอนนี้ b อยู่ยอดเนิน a กำลังขึ้นเนินและอยู่$\frac{3x}{4} $ เมตร

ถัดจากนี้ เราจะหาว่าเมื่อ a ถึงยอดเนิน b จะอยู่ตรงไหน

ระยะทาง $\frac{x}{4} $ เมตร, $\ \ \ \ $ a ใช้เวลา $\frac{x}{4} \times \frac{1}{120}$ นาที ก็ถึงยอดเนิน

แล้วตอนนี้ b อยู่ตรงไหน

b ลงเนินด้วยความเร็ว 120 เมตรต่อนาที ได้ระยะทาง $\frac{x}{4} \times \frac{1}{120} \times 120 = \frac{x}{4}$ เมตร

ตอนนี้แหละครับ a จะแซง b แล้ว ..... ดูรูปอีกทีนะครับ


ตอน a ทัน b ใช้เวลาเท่ากัน (ให้ b วิ่งได้ระยะทาง y เมตร)
เวลที่ a ใช้ = เวลาที่ b ใช้ ........(a 160เมตรต่อนาที b 120 เมตรต่อนาที)

$\dfrac{(\frac{x}{4}+y)}{160} = \dfrac{y}{120}$ ............(เวลา = $\frac{ระยะทาง}{ความเร็ว}$)

$y = \frac{3x}{4}$

นั่นก็แปลว่า a ทัน b ที่เชิงเนินพอดี

สรุปว่า สวนทางกันครั้งที่ 3 ที่กึ่งกลางเนิน หลังจากนั้นมาทันกันที่เชิงเนิน

โจทย์บอกว่า ''ถ้าจุดที่นักวิ่งAและBวิ่งสวนกันครั้งที่ สามห่างจากจุดที่นักวิ่งAวิ่งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่สามเป็นระยะทาง200เมตร'

ดังนั้นเนินนี้สูง 400 เมตร ANS
(กว่าจะแซงได้ คนทำโจทย์เหนื่อยจัง)

[nan_piglet]

จำนวนเต็ม 12 จำนวน ได้แก่ 1,2,3,...,12 นำมาจัดเรียงล้อมรอบเป็นรูปวงกลมคล้ายกับตัเลขบนหน้าปัดนาฬิกา
โดยกำหนดให้ค่าแตกต่างของจำนวนที่อยู่ติดกันสองจำนวนใดๆเป็น 2,3,4 ค่าใดค่าหนึ่ง
จากการเรียงภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว จะสามารถทำให้เกิดค่าแตกต่างเท่ากับ 4 ได้มากที่สุดกี่ครั้ง
ขอแนวคิดโจทย์หน่อยค่ะ

[banker]

ยังไม่ต่อยเข้าใจโจทย์ แต่ลองจัดหมวดต่าง 4 ได้ดังนี้
12 8 4
11 7 3
10 6 2
9 5 1

มีอบู่ 8 ครั้ง

[Furry]

''ถ้าจุดที่นักวิ่งAและBวิ่งสวนกันครั้งที่สามห่างจากจุดที่นักวิ่งAวิ่งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่สามเป็นระยะทาง200เมตร''..รบกว นคุณbankerสรุปให้หน่อยครับว่านักวิ่งAวิ่งมาทัน(วิ่งแซง)นักวิ่งBครั้งที่1,2,3เมื่อใดบ้างครับ..ขอบคุณครับ

[banker]

จากที่ทำมาสองตอนข้างบนนี้ ได้ข้อสรุปว่า สวนกันครั้งที่สามตรงกึ่งกลางทาง
ไล่ทันกันครั้งแรกดังที่แสดงในตอนที่สอง

ถ้าต้องการรู้ว่าไล่ทันกันครั้งที่สามเมื่อไร ที่ไหน ก็ลองทำตามแนวทางวิธีคิดที่แสดงไว้ข้างต้น ก็จะได้คำตอบ

[Furry]

ขอบคุณคุณbankerมากครับ

[banker]

กลับมาบอกว่า เมื่อทำต่อแล้ว คำตอบยังเหมือนเดิม คือ เนินนี้สูง 400 เมตร

[Furry]

กลับมาขอบคุณอีกครั้งครับคุณbanker

[linlyse]

มีโจทย์คณิตศาสตร์โลกมาให้ช่วยคิด 3ข้อคะ

1.นำเลขจำนวนนับที่เรียงต่อเนืองกัน มาจัดแยกออกเป็นกลุ่มๆดังตัวอย่างต่อไปนี้
(1),(2,3),(4,5,6),...,(7,8,9,10),...
นั่นคือกลุ่มแรกมีเลขจำนวนนับอยู่ 1 จำนวน กลุ่มที่สองมีเลขจำนวนนับอยู่ 2 จำนวน กลุ่มที่สามมีเลขจำนวน
นับอยู่ 3 จำนวน เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป จงหาผลบวกของเลขจำนวนรับทุกจำนวนที่อยู่ในกลุ่มที่ 2007

2.จำนวนพาลินโดรมิก คือ จำนวนนับที่มีค่าเท่าเดิม ไม่ว่าจะอ่านจากซ้ายไปขวา หรือจากขวาไปซ้ายก็ตาม ตัวอย่างเช่น 11511 22222 10001
จงหาอัตราส่วนในรูปของเศษาส่วนอย่างตำ

ระหว่างจำนวนพาลินโดรมิกห้าหลักที่มีค่าเป็นพหุคูณของ 11 ทุกจำนวนกับจำนวนพาลินโดรมิกห้าหลักทั้งหมด
3. จำนวนตัวเลข 3 หลัก ซึ่งมีเลขโดดแต่ละหลักแตกต่างกัน เมื่อนำเลขโดดทั้งสามมาจัดเรียงเป็นจำนวนใหม่ จะได้ว่าค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดเป็นตัวเลข 3 หลักเมื่อตอนเริ่มต้น จงหาจำนวนตัวเลข3หลัก เมื่อตอนเริ่มต้นคือจำนวนใด