โจทย์จาก TUGMOs เลือกมาครับ

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

ข้อ 2 ยั่วใจมากคับ
$x+y+z=\frac{4}{3}$
$x^2+y^2+z^2=\frac{-14}{10}$
$x^3+y^3+z^3=\frac{-166}{30}$
$x^4+y^4+z^4=\frac{739}{9}$
สูตรหาผลบวก$x^n+y^n+z^n=as_{n-1}-bs_{n-2}+cs_{n-3}$
เมื่อ$n\geqslant 3$และเมื่อ$0\leqslant n\leqslant 2=a^2-2b$
และ$a=x+y+z,b=xy+xz+yz,c=xyz, s_n=x^n+y^n+z^n$
ที่เหลือก็คิดเองn

คุณPlatootod ครับ คุณคงคิดค่า$x^2+y^2+z^2=\frac{-14}{10}$
$x^3+y^3+z^3=\frac{-166}{30}$

ผิดหรือเปล่าครับ

ผมคิดได้$x^2+y^2+z^2=\frac{-14}{9}$



ผมอยากให้จอมยุทธ์ท่านอื่นๆ ช่วยดูหน่อยว่า $x^2+y^2+z^2$ มันต้องเป็นค่า+เสมอไม่ใช่เหรอครับ แล้วทำไมมันได้ค่าลบ$\frac{-14}{9}$อ่าคับ ผมสงสัยมากครับ โจทย์มันน่าจะผิดนะครับ

[Platootod]

$16/9-90/9=-74/10$
นี่คือคำตอบ
มันได้ลบเพราะมันเป็นจำนวนจินตภาพ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

สูตรหาผลบวก$x^n+y^n+z^n=as_{n-1}-bs_{n-2}+cs_{n-3}$
เมื่อ$n\geqslant 3$และเมื่อ$0\leqslant n\leqslant 2=a^2-2b$
และ$a=x+y+z,b=xy+xz+yz,c=xyz, s_n=x^n+y^n+z^n$
ที่เหลือก็คิดเองn

มีบทพิสูจน์มั้ยครับ ถ้ามีช่วยแสดงหน่อยครับ
เหลือข้อ8.แล้วครับ
ขอบคุณทุกๆท่านนะครับที่ช่วยเฉลย

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

$16/9-90/9=-74/10$
นี่คือคำตอบ
มันได้ลบเพราะมันเป็นจำนวนจินตภาพ

คุณPlatootodคับ มันคืออารัยอ่ะ ผมไม่เข้าใจอ่างับ ช่วยอธิบายหน่อยคับ

ผมเข้าใจว่า $ 16/9 - 90/9 = \frac{16}{9} - \frac{90}{9} = \frac{-74}{9} $
-*-

[Platootod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

คุณPlatootodคับ มันคืออารัยอ่ะ ผมไม่เข้าใจอ่างับ ช่วยอธิบายหน่อยคับ

ผมเข้าใจว่า $ 16/9 - 90/9 = \frac{16}{9} - \frac{90}{9} = \frac{-74}{9} $
-*-

ก็ $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+zy)$
=$(\frac{4}{3})^2-2(5)=x^2+y^2+z^2$
$(3b-x)(b-y)(b-z)$ ลองคูณกระจายดูคับแล้วจะเข้าใจ

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

ก็ $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+zy)$
=$(\frac{4}{3})^2-2(5)=x^2+y^2+z^2$

ผมว่าคุณคิดผิดหรือเปล่าครับ ลองดูวิธีผมหน่อยละกันครับ



$จากทบ.ที่ว่า สมการ ax^3+bx^2+cx+d = 0 เมื่อ x,y,zเป็นคำตอบของสมการนี้แล้ว$

$จะได้ ผลบวกของรากทั้งหมด x+y+z = \frac{-b}{a} $
$ ผลคูณของราก2ตัวใดๆ xy+yz+zx = \frac{c}{a} $
$ ผลคูณของรากทั้งหมด xyz = \frac{-d}{a} $


ฉะนั้นจากโจทย์ $3x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = 0 $ เมื่อ a,b,c เป้นคำตอบของสมการ
จะได้ว่า

$จะได้ ผลบวกของรากทั้งหมด a+b+c = \frac{-(-4)}{3} = \frac{4}{3}$
$ ผลคูณของราก2ตัวใดๆ xy+yz+zx = \frac{5}{3} $
$ ผลคูณของรากทั้งหมด xyz = \frac{-1}{3} $

รู้สึกว่าคุณPlatootod จะได้ค่า $ xy+yz+zx = 5 $ นะครับ ผิดหรือเปล่าตรงนี้อะ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ผมว่าคุณคิดผิดหรือเปล่าครับ ลองดูวิธีผมหน่อยละกันครับ



$จากทบ.ที่ว่า สมการ ax^3+bx^2+cx+d = 0 เมื่อ x,y,zเป็นคำตอบของสมการนี้แล้ว$

$จะได้ ผลบวกของรากทั้งหมด x+y+z = \frac{-b}{a} $
$ ผลคูณของราก2ตัวใดๆ xy+yz+zx = \frac{c}{a} $
$ ผลคูณของรากทั้งหมด xyz = \frac{-d}{a} $


ฉะนั้นจากโจทย์ $3x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = 0 $ เมื่อ a,b,c เป้นคำตอบของสมการ
จะได้ว่า

$จะได้ ผลบวกของรากทั้งหมด a+b+c = \frac{-(-4)}{3} = \frac{4}{3}$
$ ผลคูณของราก2ตัวใดๆ xy+yz+zx = \frac{5}{3} $
$ ผลคูณของรากทั้งหมด xyz = \frac{-1}{3} $

รู้สึกว่าคุณPlatootod จะได้ค่า $ xy+yz+zx = 5 $ นะครับ ผิดหรือเปล่าตรงนี้อะ

ใช่เลยครับ กำลังจะโพส พอดีเลยครับ

[Platootod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ผมว่าคุณคิดผิดหรือเปล่าครับ ลองดูวิธีผมหน่อยละกันครับ



$จากทบ.ที่ว่า สมการ ax^3+bx^2+cx+d = 0 เมื่อ x,y,zเป็นคำตอบของสมการนี้แล้ว$

$จะได้ ผลบวกของรากทั้งหมด x+y+z = \frac{-b}{a} $
$ ผลคูณของราก2ตัวใดๆ xy+yz+zx = \frac{c}{a} $
$ ผลคูณของรากทั้งหมด xyz = \frac{-d}{a} $


ฉะนั้นจากโจทย์ $3x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = 0 $ เมื่อ a,b,c เป้นคำตอบของสมการ
จะได้ว่า

$จะได้ ผลบวกของรากทั้งหมด a+b+c = \frac{-(-4)}{3} = \frac{4}{3}$
$ ผลคูณของราก2ตัวใดๆ xy+yz+zx = \frac{5}{3} $
$ ผลคูณของรากทั้งหมด xyz = \frac{-1}{3} $

รู้สึกว่าคุณPlatootod จะได้ค่า $ xy+yz+zx = 5 $ นะครับ ผิดหรือเปล่าตรงนี้อะ

ผมผิดเองแหละคับ

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

ก็ $(3b-x)(b-y)(b-z)$ ลองคูณกระจายดูคับแล้วจะเข้าใจ

ผมลองคูณแล้วได้ $ 3b^3 - b^2(3y+3z+x) + b(3yz+xy+xz) - xyz $

มันเกี่ยวอารัยอ่าครับ

ผมว่า คุณยกตัวอย่าง แบบนี้ ไม่ดีกว่าเหรอครับ

$ (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -(a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc $

[Platootod]

เอาเป็นว่าที่ผมบอกไปถือว่าผมมันงี่เง่าละกันคับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

มีบทพิสูจน์มั้ยครับ ถ้ามีช่วยแสดงหน่อยครับ
เหลือข้อ8.แล้วครับ
ขอบคุณทุกๆท่านนะครับที่ช่วยเฉลย

ข้อ 8 เนี่ย งงจัดๆ เพราะ ผมหาได้แค้เส้นเดียวอ่ะสิครับ (สัมผัสกับตัดเหมือนกันป่าวอ่ะครับ)

[Ne[S]zA]

ผมก็ตัดเส้นเดียวครับ อีกเส้นเหมือนจะตัดแต่ไม่ตัด มันไล่ไปเรื่อยๆๆตามกราฟพาราโบลาอ่ะครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ผมก็ตัดเส้นเดียวครับ อีกเส้นเหมือนจะตัดแต่ไม่ตัด มันไล่ไปเรื่อยๆๆตามกราฟพาราโบลาอ่ะครับ

คือในความคิดผมนะ สัมผัสหมายถึง มีคู่อันดับ (x,y)เท่ากัน แค่ค่าเดียว แต่ตัดนี่มี 2 ค่าอ่ะครับ
เพราะงั้นผมถึงได้คิดว่ามนสัมผัสได้แค่ที่เดียวคือที่จุด สูงสุด หรือ ต่ำสุดอ่ะสิครับ

แต่ถ้าตัดผมก็ต้องพิจรณาใหม่หมดเลยอ่ะ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

คือในความคิดผมนะ สัมผัสหมายถึง มีคู่อันดับ (x,y)เท่ากัน แค่ค่าเดียว แต่ตัดนี่มี 2 ค่าอ่ะครับ
เพราะงั้นผมถึงได้คิดว่ามนสัมผัสได้แค่ที่เดียวคือที่จุด สูงสุด หรือ ต่ำสุดอ่ะสิครับ

แต่ถ้าตัดผมก็ต้องพิจรณาใหม่หมดเลยอ่ะ

ขอโทษด้วยครับ
พิมพ์ผิดอิอิ จะพิมพ์สัมผัสอ่าครับ

[Ne[S]zA]

มาต่อกันดีกว่าครับ
ข้อ9)กำหนดสมการ $2^{2x-1}-k+\frac{1}{2}=(3k ) 2^{x-2}$ เมื่อ $x,k$ เป็นจำนวนจริง จงหาผลรวมของค่าคงที่ $k$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการมีรากเดียว
ข้อ10)กำหนดนิยาม $a\Delta b=\frac{a^b}{a^b+\sqrt{a}}$
ให้$$A=(1\Delta \frac{1}{2004})+(2\Delta \frac{2}{2004})+...+(1002\Delta \frac{1002}{2004})$$
$$B=(1001\Delta \frac{1003}{2004})+(1000\Delta \frac{1004}{2004})+(999\Delta \frac{1005}{2004})+...+(1\Delta \frac{2003}{2004})$$
จงหาค่าของ $A+B$
ข้อ11)กำหนด $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...a_nx^n$ เมื่อ $a_i$ เป็นสัมประสิทธิ์ของ $x_i$ ถ้า $f(x)=(1+x)^{335}$ แล้วจงหาค่าของ
$$\sqrt{\sum_{n = 168}^{335} a_n}$$
ข้อ12)ให้ $x$ เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นคำตอบของสมการ
$$A-B=-3(2x-1)$$
$$A+2B=3x^2+6$$
$$(\sqrt[3]{A^2} - \sqrt[3]{B^2})( \sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}-\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{A}}+\sqrt[3]{\frac{1}{B}}})(\sqrt{\frac{A}{B}}+\sqrt{\frac{B}{A}}-1)=\frac{24x^2-6x-3}{x^2-x-2}$$
จงหาค่าของ $2x+3A$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้
แค่นี้ก่อนนะครับ