Discontinuities in dy/dx

[t.B.]

ขอยกตัวอย่าง กราฟ

เช่น $y=x^{1/2} $ เมื่อหา dy/dx จะได้ว่า dy/dx ไม่มีค่า หรือไม่มีความชัน ที่ x=0

แต่ว่าถ้าจัดรุปใหม่ x=2y^2 แล้วหา dx/dy แทนก็จะหาความชันที่ x=0(หรือ y=0) ได้

คือผมไม่เข้าใจว่า ทำไม dy/dx ไม่มีค่าแต่ dx/dy กลับมี ความชันของเส้นสัมผัส ที่จุดปลาย x=0,y=0

ในความคิดผม ไม่ว่าจะ dy/dx หรือ dx/dy มันก็ดูเป็นความชันได้ เพราะถ้ามองใหม่โดยพลิกแกนกลับเอา แกน x มาเป็นแกนตั้ง เอาแกน y เป็นแกนนอน มันก็เลียนแบบได้ว่า dx/dy ก็เป็นความชัน

และอีกอย่างมันก็กราฟเดียวกันถ้าไม่มีก็น่าจะไม่มีเหมือนกัน ถ้ามีก็มีเหมือนกันสิครับ หรือผมเข้าใจผิดมาตลอด ช่วยอธิบายทีครับ

[gon]

ประเด็นแรก กราฟมันไม่เหมือนกันนะครับ

กราฟ $y = \sqrt{x}$ เป็นพาราโบลาครึ่งซีก มีเฉพาะในจตุภาคที่ 1

กราฟ $y^2 = x $ เป็นพาราโบลาเต็มใบ มีในจตุภาคที่ 1 และ 4

แบบแรกที่หาไม่ได้ เส้นสัมผัสเป็นแนวดิ่ง เพราะความชันเข้าใกล้ infinity

แบบที่สองหาได้ เพราะถ้าพลิก แล้วเส้นสัมผัส เป็นแนวนอน ความชันจึงเป็นศูนย์ ซึ่งก็ถูกแล้วนี่ครับ

[t.B.]

จริงด้วยครับ ผมลืมกำหนดโดเมนฟังก์ชั่นใหม่ ว่า $Y\geqslant 0$ ด้วย มันเลยเปลี่ยนรูปไป ขอบคุณมากครับสำหรับคำอธิบาย

แต่สมมติจะหาความยาวส่วนโค้ง $y=\sqrt{x} $ จาก x=0 ถึง x=2

เพราะว่า dy/dx หาไม่ได้ที่ x=0 แต่ถ้าเรา แปลง เป็น $x=y^2$ โดยไม่กำหนดว่า $y \geqslant 0 $ ทำให้เป็นคนละฟังก์ชั่นกัน(เพราะว่า Domain ไม่เหมือน)

ซึ่งทำให้ที่จุด x=0 ของทั้งสองฟังก์ชั่นมันไม่เหมือนกัน(ตรงที่อันนึงหาความชันไม่ได้ แต่อีกอันนึงหาได้) แต่ความยาวมันก็เท่ากัน

เลยเอาฟังก์ชั่นใหม่ ที่มีความยาวของเส้นเท่ากัน มาใช้หาความยาวแทนได้ แบบนี้ก็ไม่ผิด ผมเข้าใจถูกไหมครับ

ปล.จริงๆโจทย์ที่ได้มาคือหาความยาวส่วนโค้ง $y=(x/2)^{2/3}$ จาก x=0 ถึง x=2 ผมคิดว่ามันน่าจะคล้ายๆกับ $y=\sqrt{x} $ เลยยกตัวอย่างเป็น $y=\sqrt{x} $ ที่น่าจะนึกภาพง่ายกว่า แทน ซึ่งเท่าที่ผมพบ ก็คือมันต่างกันตรงเมื่อแปลงแล้ว ของโจทย์ domain มันไม่ต่างจากเดิม แต่อันที่ผมยกตัวอย่างมันต้องกำหนดโดเมนถึงจะเป็นรูปเดิม

ปล2.เท่าที่พอเรียบเรียงคำถามได้นะครับ เพราะอธิบายไม่ถูกเหมือนกันว่าตัวเองกำลังงงตรงไหน = =" บอกได้แค่คร่าวๆคือ ทำไม dy/dx หาไม่ได้ แต่ dx/dy กลับหาได้ ทั้งๆที่เป็นฟังก์ชั่นเดียวกัน (ที่ยกตัวอย่างไปยกผิด มันคนละฟังก์ชั่น)

ปล3.ไว้หายปวดหัว แล้วจะพยายามเรียบเรียงคำถาม+สิ่งที่สงสัย+ตัวอย่าง ให้เห็นชัดเจนกว่านี้นะครับ ยิ่งพิมพ์ยิ่ง งงตัวเอง -*-

[nooonuii]

ผมว่าประเด็นที่กำลังทำให้งงอยู่คือการเล่นกับ improper integral ครับ

[Onasdi]

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}\times \frac{dx}{dy}=1}$
มันเป็นส่วนกลับกันครับ ก็เหมือนว่าเรารู้ว่า A=0 แต่เราหา 1/A ไม่ได้
$\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$ กับ $\displaystyle{\frac{dx}{dy}}$ ไม่ใช่สิ่งเดียวกันซะทีเดียวในมุมมองของกราฟ
$\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$ คือความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ
แต่ $\displaystyle{\frac{dx}{dy}}$ คือลบของความชันของเส้นตั้งฉากกับกราฟ

[t.B.]

เดี๋ยวนะครับ ช่วยตอบคำถามนี้นิดนึงนะครับ

ตกลงว่าเส้นสัมผัสกราฟที่จุด (0,0) ของกราฟ $y=\sqrt{x} $ คือเส้นตรง x= 0 หรอครับ จุดปลายช่วงมันบอกไม่ได้ไม่ใช่หรอครับว่าความชันเป็นเท่าไร(เส้นสัมผัสเป็นเส้นไหน) เพราะมันมีเส้นสัมผัสจุดนั้นหลายเส้นเหลือเกิน(เหมือนกับจุดปลายแหลม) หรือผมเข้าใจอะผิดช่วยอธิบายทีครับ

[Mathopolis]

ถ้าหา dx/dy มันมองกราฟคนละด้านกันนี่ครับ?