คิดอย่างไรครับ

[เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง]

1.ถ้า $3^{x+y} = 6$ และ $2^{2x+y} = 1$ แล้ว $3^{x+1}$ + $3^{y-2}$ เท่ากับเท่าใด

2.จุดตัดของกราฟจากสมการ y=14-x แลx=y+2 ห่างจากจุดกำเนิดเท่าไร

3.ถ้า $3^{2x}=4^y=6^{-2z}$ แล้วค่าของ $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{z}$เป็นเท่าใด

4.กำหนดสมการ$\frac{2}{x} + \frac{1}{z} = 0,\frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 4,\frac{3}{y} + \frac{1}{z} = 2$ จงหาค่าของ $(x^2 + y^2 + z^2)$

5.จงหาค่าของ $-1^2 +2^2 -3^2 +4^2 - ... +2552^2$

6.กำหนดให้ $A=2009^{2552} +2009^{-2552}$ และ $B=2009^{2552} - 2009^{-2552}$แล้ว $A^2 - B^2$ มีค่าเท่าใด

7.กำหนดให้ $4^x -4^{x-1} =24$ แล้วจงหาค่าของ $(10x)^{x-1}$

ขอวิธีคิดทุกข้อเลยนะครับ

[-SIL-]

เวลาพิม์เลขยกกำลังพิมพ์แบบนี้ดีกว่าครับ 2^{2552} ใส่ปีกาด้วย แล้วเช็คโจทย์ข้อ 7 ด้วยครับ

[คusักคณิm]

5. hint $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...+n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

[-SIL-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

5. hint $1+2+3+4+5+...+n= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

พิมพ์ผิดหรือเปล่าครับ

[คusักคณิm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -SIL-

พิมพ์ผิดหรือเปล่าครับ

ครับผม

[กิตติ]

ข้อ 5. มองเป็นรูปแบบนี้แทนได้ไหมครับ
$(2^2 - 1^2)+(4^2 - 3^2)+..+(2552^2 - 2551^2)$
จากนั้นใช้ผลต่างกำลังสอง $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
คงได้คำตอบแล้วนะครับ คิดต่อคงได้
งั้นผมเพิ่มโจทย์ให้อีกว่า
$1^2-2^2+3^2-4^2+...-2552^2 = ???$

[-SIL-]

จับคู่แบบ #6 จะดูดีครับ ไม่ต้องใช้สมการที่คุณคนรักคณิตให้มาเลย
คือการจับคู่ $n$ กับ $n+1$ จะได้ผลบวกแต่ละวงเล็บคือ $(n+1)^2-n^2 = 2n+1$
และได้ว่าผลบวกดังกล่าวคือ ?

[กิตติ]

ข้อ 2 หาจุดตัดก็เอาค่า$x ,y$จากสมการหนึ่งไปแทนอีกสมการหนึ่งจะได้จุดพิกัด$(x,y)$
นำไปเขียนลงได้ตามรูป โจทย์ถามระยะห่างจากจุดกำเนิดมายังพิกัด ก็หาความยาวของเส้นสีแดง$oa$ตามรูป ใช้ทฤษฐีปิธากอรัสก็ได้คำตอบ คิดต่อเองอีกหน่อยก็ได้แล้ว

[กิตติ]

ข้อ 6 ใช้ความรู้เรื่องผลต่างกำลังสองครับ ออกเห็นๆเพราะจะเห็นว่า$A+B = 2009^{2552} +2009^{2552}$ ส่วน$A-B=???$ แล้วเอาสองค่ามาคูณกันจะเห็นว่ามีอะไรที่ตัดกันได้...เห็นคำตอบแล้วเนาะ

ส่วนข้อ1,3และ7 ใช้ความรู้เรื่องเลขยกกำลัง จริงๆเป็นความรู้ในส่วนมัธยมต้น น่าจะเป็นของมัธยมสาม ออกเกินความรู้เด็กประถม....โหดร้าย
ถ้า$a^m =a^n$แล้ว$m=n$ เอาตัวแปรที่ยกกำลังมาแก้สมการ เดี๋ยวก็ได้คำตอบ

แนะวิธีแต่ละข้อแล้วลองทำดูก่อน ไม่ได้เดี๋ยวค่อยช่วยๆกัน

[wiriya555]

ข้อ 3 ตอบ 1 หรือเปล่าครับผม

9^x = 4^y = (1/36) ^z กำหนดให้ = k

9 = k ^1/x

4 = k^1/y

(1/36) = k^z

1/x +1/y +1/z = 9*4*1/36

= 1


โทดทีครับ เลขชี้กำลังทำไง ผมทำไม่เป็นช่วยทีนะครับ

[wiriya555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 2 หาจุดตัดก็เอาค่า$x ,y$จากสมการหนึ่งไปแทนอีกสมการหนึ่งจะได้จุดพิกัด$(x,y)$
นำไปเขียนลงได้ตามรูป โจทย์ถามระยะห่างจากจุดกำเนิดมายังพิกัด ก็หาความยาวของเส้นสีแดง$oa$ตามรูป ใช้ทฤษฐีปิธากอรัสก็ได้คำตอบ คิดต่อเองอีกหน่อยก็ได้แล้ว

ข้อ 2

y+2 = 14-y

y =6
x= 8

(x,y)=(8,6 )

[wiriya555]

ข้อ7 ทำไมผมได้ x = 5/2 อะครับถูกป่าว

[กิตติ]

ข้อ 2 ถามระยะห่างจากจุดกำเนิด คำตอบมารางๆแล้วครับ
ข้อ 3 คิดวิธีที่แสดงนั้นถูกต้องแล้วครับ
ข้อ 7 ไม่แน่ใจว่าโจทย์เขียนอย่างไร
ข้อ 1กำลังนั่งคิดอยู่ยังคิดไม่ออก

[หยินหยาง]

hitnt ข้อ 1 จากโจทย์จะทำให้รู้ว่า 2x+y =0

[กิตติ]

เพิ่งคิดข้อ 1 เสร็จ....โจทย์สวยมากเลยครับแต่ไม่ง่ายที่จะทำ ไม่รู้ว่าคนแต่งเอามาโพสผิดกระทู้หรือเปล่าครับ น่าจะเป็นกระทู้ของมัธยมต้น
ข้อ 1 ขออนุญาตเฉลยแล้วกันครับ โจทย์สวยจนอดใจไม่ไหว
$3^{x+y}=6$ จะได้ว่า $3^{x+y} = 3$x$2$
เอา3หารทั้งสองข้าง จัดรูปแบบใหม่ได้ว่า$3^{x+y-1} = 2$....ตรงนี้ต้องเข้าใจว่า$\frac{1}{3} = 3^{-1}$ และ$a^m$x$a^n$=$a^{m+n}$..ตรงนี้ไม่น่าจะใช่ความรู้ระดับประถมปลาย
เราเขียนใหม่ว่า$x+y-1 = (x+1)+(y-2)$
ดังนั้น$3^{x+y-1} = 3^{(x+1)+(y-2)} =2$จะเห็นว่าพจน์เหมือนกับที่โจทย์ถามแล้ว$3^{(x+1)+(y-2)} = 3^{x+1}$ x $3^{y+2}$
คราวนี้ต้องใช้เทคนิคสมมุติตัวแปร ให้$3^{x+1} = a$และ $3^{y-2} = b$
จะได้ว่า $ 3^{x+1}$ x $3^{y+2} = 2 = a$x$b$ เก็บเป็นสมการที่1
มาดูที่โจทย์กำหนดให้$2^{2x+y}=1$ อันนี้ต้องรู้ว่า$2^0 =1$และถ้า $a^m = a^n$แล้ว$m=n$
$2^{2x+y}=1=2^0 $ จะได้ว่า $2x+y=0$
มาเขียนใหม่อีกทีว่า $y-2 = -2x-2 = -2(x+1)$ ทีนี้เอาค่า$y-2$ไปแทนที่ $3^{y-2} = b$
$3^{y-2} = 3^{-2(x+1)} $ จาก$a^{-m}= \frac{1}{a^m}$ และ$a^{mn} = (a^m)^n$
จะเขียนได้ว่า$3^{-2(x+1)} = (3^{-2})^{(x+1)} =(\frac{1}{3^2})^{(x+1)} = (\frac{1}{3 . 3})^{(x+1)} $ จาก$(ab)^m = a^m . b^m$
$ 3^{-2(x+1)} = (\frac{1}{3 . 3})^{(x+1)} = (\frac{1}{3})^{(x+1)} . (\frac{1}{3})^{(x+1)} = (\frac{1}{3^(x+1)}) . (\frac{1}{3^(x+1)}) $

แทนค่าด้วย$3^{x+1} = a$และ $3^{y-2} = b$
จะได้ว่า $3^{y-2} = (\frac{1}{3^(x+1)}) . (\frac{1}{3^(x+1)}) $
$b = (\frac{1}{a}) . (\frac{1}{a}) = (\frac{1}{a^2})$ แทนค่าลงในสมการ$a.b=2$....$a = \frac{2}{b}$
$a = 2a^2$....อย่าเอาaหารออกสองข้าง ย้ายข้างจัดสมการได้เป็น
$2a^2 - a = 0$ .......... $a(2a-1) = 0$ จะได้ว่าจาก$a.b = 0$ แล้ว$a=0$ หรือ$b=0$
จะได้ว่า $a=0$ หรือ$(2a-1)=0$ แต่ $a$เป็นศูนย์ไม่ได้ เพราะสมการ $b = (\frac{1}{a^2})$ ไม่มีการหารด้วยศูนย์
ดังนั้นเหลือกรณีเดียวคือ $(2a-1)=0$ แก้สมการได้$a = \frac{1}{2}$
แทนค่าในสมการ $a.b=2$
ได้ค่า$b=4$....โจทย์ถามค่าของ $a+b=???$ แทนค่าลงไปได้เท่ากับ $a+b = \frac{9}{2}$

กว่าจะหาคำตอบได้เล่นเอาหน้ามืดเหมือนกัน...โจทย์ข้อนี้วัดความรู้อะไรเยอะมาก ผมว่าน่าจะมีวิธีลัด แต่ตอนนี้คิดวิธีเฉลยได้เพียงวิธีนี้ครับ