ระบบสมการนี้...ไม่มีคำตอบ???

[Nutty]

2x+2y+3z+2t=11 -----------------(1)
x+y+2z+2t=6 -----------------(2)
2y+5z+2t=5 -----------------(3)
x+y+3z+4t=1 -----------------(4)

ผมคิดยังไงก็ไม่มีคำตอบ
คิดได้ประมาณว่า
z+2t = -5
z+2t =1 มันแย้งกันเองซะงั้น ก็เลยเอามาถามดูอ่าคับ

ปล.โจทย์ข้อนี้อยู่ในหนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.4 ของสสวท หน้า 5ข้อ 8

ขอบคุณค้าบ

[passer-by]

ได้ข้อขัดแย้งเหมือนกับที่น้อง Nutty ทำเหมือนกันครับ

จริงๆแล้ว ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่โตอะไร

โดยปกติ คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น จะมีอยู่ 3 ลักษณะ คือ

1. มีคำตอบชุดเดียว

2. ไม่มีคำตอบ (อย่างที่น้องถามมา)

3. มีคำตอบหลายชุด

สำหรับแบบที่ 2,3 ไม่แน่ใจว่าในตำรา ม.ปลาย ได้พูดถึงหรือเปล่า ซึ่งปกติ เรา check ได้คร่าวๆ ว่า ถ้า determinant ของ เมตริกซ์สัมประสิทธิ์ของสมการ เป็น 0 ก็จะมาลงเอย ที่ แบบ 2 หรือ 3 อย่างใดอย่างหนึ่งครับ

[Mastermander]

ๆ ็ ็ ็ ่

11 2 3 2 6 1 2 2 5 2 5 2 1 1 3 4

๖ ๚ ๚ ๚ ๘

-----------------

ๆ ็ ็ ็ ่

2 2 3 2 1 1 2 2 0 2 5 2 1 1 3 4

๖ ๚ ๚ ๚ ๘

เมื่อเอา DET ของเมตริกซ์ 2ตัวนี้มาหารกันจะได้ค่า X ในทำนองเดียวกันกับ Y , Z , T แต่เปลี่ยนเมตริกซ์ ข้างบนไป... แต่ตัวส่วนใช้ DET ตัวเดียวกันหมด
แต่ทว่า DET ของตัวส่วนคิดออกมาแล้ว เป็น 0 ทำให้ทุกตัว หาร 0 หมด
\ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ

[passer-by]

ผมว่าที่คุณ mastermander สรุป 2 บรรทัดสุดท้าย อาจไม่เป็นจริงเสมอไปนะครับ

det ของเมตริกซ์สัมประสิทธิ์เป็น 0 ไม่ได้ การันตีว่า ระบบสมการจะไม่มีคำตอบเสมอไปนะครับ ไม่เชื่อลอง แก้ระบบสมการต่อไปนี้ดู

2x+z+w = 5
y-w = -1
3x- z- w = 0
4x+y+2z+w = 9

จะพบว่า มีคำตอบมากมาย แม้ว่า det ดังกล่าวเป็น 0

[Mastermander]

แล้วมีวิธีคิดอย่างไรครับ
ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[passer-by]

ปกติ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมตริกซ์ แบบ manual ก็จะมี 2 วิธีใหญ่ๆ ครับ คือ

1. Cramer's rule :ซึ่งก็คือวิธีที่คุณ Mastermander ใช้ แต่วิธีนี้มีข้อจำกัด ตรงที่ สามารถใช้ได้เฉพาะกรณี ที่จำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนสมการ เพราะวิธีนี้พึ่งพา determinant และมักจะใช้วิธีนี้ ต่อเมื่อ มั่นใจว่า det ของเมตริกซ์สัมประสิทธิ์ไม่เป็น 0

2. ใช้ Gauss elimination ซึ่งพึ่งพาการดำเนินการทางแถว(Row operation) และวิธีนี้จะครอบคลุมกว่า Cramer's rule

หลักการคร่าวๆ คือ ถ้าระบบสมการแทนด้วย เมตริกซ์ Ax=b

เราจะ set เมตริกซ์เริ่มต้น [A|b] หรือที่เรียกว่าเมตริกซ์แต่งเติม (augmented matrix)ขึ้นมาก่อน จากนั้นจะ ดำเนินการทางแถวจนกว่า จะได้เมตริกซ์ [I|c] เมื่อ I เป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ และ c ก็คือผลเฉลยของระบบสมการนั่นเอง

ซึ่งคำอธิบาย ย่อหน้าก่อนนี้ไม่ใช่ความรู้เกิน ม.ปลายครับ เพราะปรากฏในหนังสือเลข ม.ปลาย สมัยผมเรียนเมื่อ 4-5 ปีก่อน ซึ่งก็น่าจะมีในเล่มของหลักสูตรปัจจุบันเหมือนกัน

แต่ประเด็นอยู่ตรงนี้ครับ บางครั้งเราดำเนินการทางแถว แล้วไม่ได้ [I|c] แต่กลับพบว่า แถวสุดท้ายเป็น 0 หมด กรณีเช่นนี้แสดงว่าระบบสมการมีคำตอบมากมาย และในบางครั้ง ก็พบว่าแถวสุดท้ายเป็น 0 หมด ยกเว้น ตำแหน่งขวาสุดของแถวไม่เป็น 0 กรณีเช่นนี้ แสดงว่า ระบบสมการไม่มีคำตอบ หรือเกิดการขัดแย้งกันเอง (ถ้าว่างๆ ก็ลองดำเนินการทางแถว แล้วเอาเกณฑ์ 2 ข้อนี้ไปใช้กับโจทย์ 2 ข้อที่ปรากฎในกระทู้นี้ก็ได้ครับ จะได้เข้าใจลึกซึ้งขึ้น)

ที่อธิบายมาคร่าวๆ นี้ ยืนพื้นอยู่บนกรณีที่จำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนสมการนะครับ ซึ่งจริงๆวิธี Gauss elimination นี้ สามารถใช้ได้เสมอไม่ว่าจำนวนสมการกับจำนวนตัวแปรจะเท่ากันหรือไม่ก็ตาม

ถ้าได้เรียนในระดับสูงขึ้นไป ก็จะพบเรื่องนี้อีกครั้งครับในวิชา Linear Algebra ซึ่งเมื่อถึงตรงนั้น เราก็จะไม่มาอธิบายเป็นสัญลักษณ์ [I|c] อีกแล้ว แต่จะบอกให้ ดำเนินการทางแถว ให้เป็นรูปแบบ row echelon form หรือ row reduced echelon form ซึ่งจะครอบคลุมและเป็นทางการมากกว่าที่ปรากฏในหนังสือ ม.ปลาย และยังโยงเข้าสู่เรื่อง rank ของเมตริกซ์ด้วย ซึ่งค่า rank นี้ก็ใช้บ่งบอกพฤติกรรมของคำตอบระบบสมการได้ด้วย

แต่ (ความเห็นส่วนตัว) ผมไม่ค่อยชอบใช้ค่า rank ในการบอกพฤติกรรมเหล่านี้ซักเท่าไหร่ ส่วนใหญ่ ถ้าต้องทำแบบ manual ก็จะดำเนินการทางแถว แล้วก็วิเคราะห์เอาจาก เมตริกซ์ขั้นสุดท้าย ว่าคำตอบควรเป็นในทิศทางใด แต่ถ้าเลขเยอะ ตัวแปรเยอะ ก็โยนให้โปรแกรมคิดให้ สบายใจกว่าเยอะ

[Mastermander]

คืออาจารย์ผมสอนแค่แบบคราเมอร์อะครับ ส่วนการดำเนินการทางแถว อาจารย์ไม่ได้สอนเลยไม่ค่อยรู้เรื่องเท่าไร

[passer-by]

ที่น้อง Mastermander พูดมา ก็พอจะเข้าใจครับ

ผมว่า อาจจะเป็นเพราะ คำถามเรื่องการแก้ระบบสมการเชิงเส้นในหนังสือเรียน มัธยมปลาย ส่วนใหญ่ได้คำตอบออกมาชุดเดียว ซึ่งใช้ คราเมอร์ก็เอาอยู่ เลยไม่ค่อยได้กล่าวถึงการดำเนินการทางแถว(ซึ่งมี 3แบบ)สักเท่าไหร่

เดี๋ยวถ้าว่างๆ ผมคงต้องลองไปเดินดูหนังสือเลขหลักสูตรใหม่ ซะหน่อยแล้ว ว่ามีกล่าวถึง row operation หรือเปล่า

[tunococ]

ถ้า det = 0 ก็จำแค่ว่า มันอาจจะไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบเยอะมาก ละกันนะครับ

[Mastermander]

ครับๆ

Test

53.กำหนดให้
$$ \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} $$
$$ \sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

จงพิสูจน์ว่า
$$ \sum_{i=1}^n i^3 = \bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^2 $$

[TOP]

อ่านเนื้อหาเพิ่มเติมได้ที่บทความ เอ็ซซิลอน