ช่วยหน่อยนะครับ : รวมโจทย์พีชคณิต

[Art_ninja]

1.จงหาเซตคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของ $$x^{2542}-2x^{2541}+3x^{2540}-...-2542x+2543=0$$
2.จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $$4x^2-40\left\lfloor\ x\right\rfloor +51=0$$
3.กำหนด $(x^{2000}+x^{1999}+2)^{2543}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ จงหาค่าของ
$$a_0-\frac{a_1}{2}-\frac{a_2}{2}+a_3-\frac{a_4}{2}-\frac{a_5}{2}+a_6-... $$
4.ให้ $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ ซึ่ง $P(1)=\sin \theta$,$P(2)=2\sin \theta$,$P(3)=3\sin \theta$ โดยที่ $\theta \in \mathbb{R}$ จงหาค่าของ $$P(-1)-5P(3)+4P(4)$$
5.ให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดย $z_1^2+z_1z_2+z_2^2=0$ และ $z_1\not= z_2$ จงหาค่าของ
$$(\frac{z_1}{z_1+z_2})^{1999}+(\frac{z_2}{z_1+z_2})^{1999} $$
6.สำหรับ $n \in \mathbb{N}$ ให้ $(1+\sqrt 3 i)^n=x_n+y_ni$ เมื่อ $x_n,y_n \in \mathbb{R}$ $\forall n \in \mathbb{N}$ จงหาค่าของ $$x_{2543}x_{2544}+y_{2543}y_{2544}$$

เอาแค่นี้ก่อนนะครับเดี๋ยวจะมาต่ออีก
ช่วยหน่อยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

2.จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $$4x^2-40\left\lfloor\ x\right\rfloor +51=0$$

มีแต่โจทย์ยากๆทั้งนั้นเลยครับ ไม่ทราบว่าไปได้จากที่ใดมา
ผมคิดว่าพอทำข้อนี้ได้ครับ แต่ยังไม่ได้คิดละเอียด
เราทราบว่า $4x^2-40x+51\leq 4x^2-40[x]+51=0$
แก้อสมการจะได้ขอบเขตของ $x$ ออกมา
ต่อไปก็แยกกรณีพิจารณาค่าของ $x$ เป็นช่วงๆจะได้คำตอบครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

5.ให้ z_1,z_2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดย $z_1^2+z_1z_2+z_2^2=0$ และ $z_1\not= z_2$ จงหาค่าของ
$$(\frac{z_1}{z_1+z_2})^{1999}+(\frac{z_2}{z_1+z_2})^{1999} $$

ข้อนี้ต้องสมมติเพิ่มเติมด้วยครับว่า $z_1+z_2\neq 0$
ให้ $a=\dfrac{z_1}{z_1+z_2},b=\dfrac{z_2}{z_1+z_2}$
จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า $a^2+ab+b^2=0\Rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=0$
ดังนั้น $a^3=b^3$
ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับ

[Erken]

3.ให้ $\omega =$ cos$\frac{2\pi}{3}$+isin$\frac{2\pi}{3}$
แทนค่า $x=\omega,\omega^2$

[Art_ninja]

ต้องขอโทษด้วยนะครับที่พิมพ์โจทย์ข้อ 4 ผิดไป (ถึงว่าคิดเท่าไหร่ก็ไม่ออก )
และมาเพิ่มโจทย์ให้ครับ
7.จงแก้สมการ $$1-\left|\ x+1 \right| =\frac{\left\lfloor\ x \right\rfloor -x}{\left|\ x-1\right| } $$
8.ให้ $z^5=1$ และ $z \not= 1$ จงหาค่าของ $$\frac{z}{1+z^2}+\frac{z^2}{1+z^4}+\frac{z^3}{1+z}+\frac{z^4}{1+z^3}$$
9.จงหารากที่เป็นจำนวนจริงของสมการ $$x^3-3x^2-3x-1=0$$
10.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ซึ่งสอดคล้องสมการ $$xf(y)+yf(x)=(x-y)f(xy)$$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{R}$

ช่วยหน่อยนะครับ

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

4.ให้ $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ ซึ่ง $P(1)=\sin \theta$,$P(2)=2\sin \theta$,$P(3)=3\sin \theta$ โดยที่ $\theta \in \mathbb{R}$ จงหาค่าของ $$P(-1)-5P(3)+4P(4)$$

ในที่สุดก็คิดข้อ 4 ออกแล้ว
4.Solution จาก $P(x)-x\sin \theta=0$ เมื่อ $x=1,2,3$
ทำให้ $1,2,3$ เป็นรากของ $P(x)-x\sin \theta$ และ $P(x)-x\sin \theta$ เป็นพหุนามดีกรี $4$ จึงได้ว่า $P(x)-x\sin \theta=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)$ เมื่อ $k$ เป็นอีกรากหนึ่งของ $P(x)-x\sin \theta$
เนื่องจาก
$P(-1)=24+24k-\sin \theta$
$P(3)=3\sin \theta$
$P(4)=24-6k+4\sin \theta$
จะได้ว่า $P(-1)-5P(3)+4P(4)=(24+24k-\sin \theta)-(15\sin \theta)+(96-24k+16\sin \theta)=120$ #

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

8.ให้ $z^5=1$ และ $z \not= 1$ จงหาค่าของ $$\frac{z}{1+z^2}+\frac{z^2}{1+z^4}+\frac{z^3}{1+z}+\frac{z^4}{1+z^3}$$

คูณแต่ละเศษส่วนด้วย $z^4/z^4,\ z^3/z^3,\ z^2/z^2,\ z/z$ ตามลำดับแล้วรวมเทอมจะได้
เทอมโจทย์=$\displaystyle{2(\frac{1}{z^2+z^3}+\frac{1}{z+z^4})=2\frac{z^4+z^3+z^2+z+1-1}{z^3(z^4+z^3+z^2+z+1-z^2)}=\frac{-2}{-z^5}=2}$
บรรทัดสุดท้าย มาจาก $z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0$ และ $z \not= 1$

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

10.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ซึ่งสอดคล้องสมการ $$xf(y)+yf(x)=(x-y)f(xy)$$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{R}$

สมมติ $x=y$ จะพบว่า $f(x)=0$
สลับตัวแปรจะพบว่า $(x-y)f(xy)=(y-x)f(xy)$ กันกรณี $x=y$ ออกแล้วให้ $y=1$ ก็จะได้ $f(x)=0\,\forall x\in\mathbb{R}$ ครับ

หมายเหตุ: ผมยังแอบสงสัยนะว่ามันจะง่ายอย่างนั้นจริงหรือเปล่า ใครรู้ช่วยดูด้วยครับ

[nongtum]

Hint: 6. เปลี่ยนให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว และ 12|2544
7. หากทำข้อ 2 ได้ ข้อนี้ไม่น่ายากครับ
9. ให้ $u=x+1$ จะได้ $u^3=2(u-1)^3$

[t.B.]

ขอแนวคิดข้อ9หน่อยครับทำไมถึงรู้ความสัมพันนั้นได้ว่าต้องสมมุติยังไงถึงจะได้คำตอบ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ขอแนวคิดข้อ 9 หน่อยครับ ทำไมถึงรู้ความสัมพันธ์นั้นได้ว่าต้องสมมติยังไงถึงจะได้คำตอบ

มันมาจากการทดครับ
ลองสังเกตการกระจาย $-(x+1)^3$ กับสมการโจทย์สิครับ

ปล. พิมพ์งวดหน้าให้ถูกต้องหน่อยนะครับ

[Art_ninja]

ให้ $f_1(x)=\frac{1}{1+x}$ และ $(f_n+f_n \cdot f_{n-1})(x)=1$ เมื่อ $n \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $n>1$ จงหาค่าของ $f_2(5)+f_5(1)$

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

ให้ $f_1(x)=\frac{1}{1+x}$ และ $(f_n+f_n \cdot f_{n-1})(x)=1$ เมื่อ $n \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $n>1$ จงหาค่าของ $f_2(5)+f_5(1)$

ไม่แน่ใจว่าทำอย่างนี้ได้รึเปล่านะครับ
จาก
$(fn+fn\times f1)(x)=1$
$(f2+f2\times f1)(x)=1$
$f2(x)+f2(x)\times f1(x)=1$
$f2(x)(1+f1(x))=1$
$f2(x)(1+\frac{1}{1+x} )=1$
$f2(x)=\frac{1+x}{2+x}$
แล้วก็ทำอย่างนี้หา $f3,f4,f5$ ไล่ก็จะหา $f2(5)+f5(1)$ ได้
ปล.เขียนให้เลขมันห้อยลงมายังไงอะครับ ทำไม่เป็น

[dektep]

1.LHS > 0 เสมอ
7.แบ่งช่วง x

[Art_ninja]

มีโจทย์มาเพื่มให้อีกข้อนึงครับ
12.กำหนดให้สมการ $x^2+ax+b=0$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มที่เรียงติดกันและ สมการ $x^2+bx+a=0$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก(อย่างน้อยหนึ่งตัว) จงหาค่าของ $a,b$