Geometry marathon

[kartoon]

ข้อ 14
ให้ F เป็นจุดบน AB ซึ่ง CF ตั้งฉากกับ BE

เนื่องจาก BE แบ่งครึ่งมุม ABC จึงได้ว่า BF = BC และ BE แบ่งครึ่ง CF

F และ C จึงเป็น symmetrical points with respect to BE.

$\triangle BCE \cong \triangle BFE$

$\angle BCE = \angle BFE = \angle ADC$

ดังนั้น A, D, E, F concyclic

แต่$\angle AED = 180^\circ - \angle CEA =90^\circ -\angle CEB = \angle FCE=\angle CFE =\angle FEA$

คอร์ด AD = คอร์ด AF

...

[gools]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kartoon

13) P เป็นจุดภายนอกวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง จาก P ลากเส้นตรงตัดวงกลมที่ Q และ E
(โดยที่ E อยู่ระหว่างP และ Q และ QE ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม)
A และ C เป็นจุดสัมผัสวงกลมของเส้นตรงที่ลากจาก P โดย A อยู่บน minor arc QE
B เป็นจุดบน AC โดยที่ QB แบ่งครึ่งมุม AQC และตัด EC ที่จุด G
F เป็นจุดบน AQ ซึ่ง BF ตั้งฉากกับ BE
FG ตัดกับ AC ที่จุด H
จงพิสูจน์ว่า B,H,F และQ มีวงกลมล้อมรอบได้

คุณ kartoon พอจะมี Hint บ้างมั้ยครับ คือผมติดตรง $BF \perp BE$ ไม่รู้จะเอาไปใช้ยังไง

[kartoon]

Hints

1) หาว่า EB แบ่งครึ่งมุม AEC

2) ไล่มุมจนได้ว่า มุม QBF = มุม QCG

3) สามเหลี่ยม FQB คล้ายกับสามเหลี่ยม GQC

4) สามเหลี่ยม FQG คล้ายกับสามเหลี่ยม BQC

5) มุม QBH = 180 - มุม QFH


ขอบคุณครับ...

[tatari/nightmare]

15.Let ABC be an acute triangle.The bisecter of angle ACB intersects AB at point L.The feet of the perpendicular from L
to AC and BC are denoted by M and N respectively.Let P be the intersecting point of AN and BM.Prove that CP is perpendicular to AB
16.In $\bigtriangleup$ABC ,$\angle ABC=60^{\circ}$ and $\angle ACB=70^{\circ}$.Point D is on the line segment BC such that $\angle BAD=20^{\circ}$.Prove that $AB+BD=AD+DC$
หมายเหตุ:ข้อ 16 กรุณาคิดวิธีที่ไม่ใช้ Trigo ด้วย

[kartoon]

นานๆเข้ามาที ขอทำข้อ 15 ละกัน...


โดยไม่เสียนัยทั่วไป กำหนดให้ $AC\leq BC$

กรณีที่ AC = BC นั้น เห็นชัดเจนอยู่แล้ว

สำหรับกรณีที่ $AC<BC$ เราแสดงได้ดังนี้...

ให้ H อยู่บน AB โดยที่ $ CH \perp AB$

$MN \cap AB=Q$..และ..$MN \cap CH=R$

จะได้ว่า M, H, L, N, C concyclic => $\angle MHR = \angle RHN$

R และ Q เป็น Harmonic conjugate with respect to point M and point N

ดังนั้น MR/RN = MQ/QN ........(1)

เนื่องจาก BM ตัดกับ AN ที่จุด P จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ ถ้าเราแสดงให้เห็นได้ว่า...
BM, AN และ CH จวบกันที่จุด P

พิจารณาสามเหลี่ยม CMN และเส้นตัด QAB โดย Menelaus' Theorem

จะได้ว่า (CA/AM)(MQ/QN)(NB/BC) = 1

แทนค่าด้วย (1) ==>> (CA/AM)(MR/RN)(NB/BC) = 1

พิจารณาสามเหลี่ยม CMN และบทกลับของ Ceva's Theorem

จะเห็นว่า BM, AN และ CH จวบกันที่จุด ๆหนึ่ง และจุดนั้นคือจุด P

[kartoon]

ข้อ 16
..................

[zead]

คุณ kartoon ตั้งโจทย์ต่อด้วยสิครับ ^^

[kartoon]

ข้อที่ 17. Tangents of circle (center at O) at A and B intersect at C.
Choose random point F on AC.
The perpendicular of OF that passes through A intersect BC at G
Prove that OG is perpendicular to BF.

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kartoon

ข้อที่ 17. Tangents of circle (center at O) at A and B intersect at C.
Choose random point F on AC.
The perpendicular of OF that passes through A intersect BC at G
Prove that OG is perpendicular to BF.

solution

ให้ $P=AG \cap OF ,Q=OG \cap BF$
จาก $AP \perp OF \therefore R^2=OM \cdot OF \rightarrow$ $AG$ be the polar of $F$ respect to the circle O
ดังนั้น polar of $G$ ต้องผ่าน $F$ และจาก $GB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมดังนั้น polar of $G$ ต้องผ่าน $B$ และ $F$ ดังนั้น
$BF$ be the polar of $G$ $\therefore OG \perp BF$

[Erken]

อะไรคือ polar ครับ ?

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Erken

อะไรคือ polar ครับ ?

ลองดูที่นี่ครับ http://www.cut-the-knot.org/Curricul...olePolar.shtml
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=168866

[dektep]

กระทู้นี้เงียบจริง ๆ เลยครับผมขอตั้งโจทย์ต่อเลยนะครับ
18.Let $\triangle ABC$ be a triangle and $M$ be the midpoint of $BC$.Denote the circle with diameter $AM$ as $\omega$.Let $\omega\cap AB = D$ and $\omega\cap AC = E$.Prove that $PB = PC$,where $P$ is the intersection of the tangent lines to $\omega$ at $D$ and $E$.

[dektep]

เงียบเลยครับถ้างั้นให้ hint ไปก่อนก็แล้วกันครับ

hint

Polar

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

กระทู้นี้เงียบจริง ๆ เลยครับผมขอตั้งโจทย์ต่อเลยนะครับ
18.Let $\triangle ABC$ be a triangle and $M$ be the midpoint of $BC$.Denote the circle with diameter $AM$ as $\omega$.Let $\omega\cap AB = D$ and $\omega\cap AC = E$.Prove that $PB = PC$,where $P$ is the intersection of the tangent lines to $\omega$ at $D$ and $E$.

เป็นการเพียงพอที่จะแสดงว่า PM ตั้งฉากกับBC
สมมติว่า $T=PM\cap\omega$ เป็นการง่ายที่จะแสดงว่า $(D,E,M,T)=-1$ พิจารณา pencil $A(DMET)$
กับ transveral BC จะได้ว่า $(B,C,M,S)=-1$ เมื่อ $S=AT\cap BC$ แต่จากที่ $BM=MC$
จึงได้ว่า $S=\infty $ นั่นคือ AT ขนานกับ BC ซึ่งจากนี้ก็เป็นการง่ายที่จะแสดงว่า $\angle PMC=90^{\circ} $#

[tatari/nightmare]

19.It is known that A is the smallest angle in the triangle . The points B and C divide the circumcircle of the triangle into two arcs. Let U be an interior point of the arc between B and C which does not contain A. The perpendicular bisectors of AB and AC meet the line AU at V and W, respectively. The lines BV and CW meet at T .

Show that $AU=TB+TC$ .ข้อนี้เป็น imo1997 และผมก็อยากจะนำเสนอวิธีของผมด้วย(NO TRIGO!))
20.Let ABCD be a trapezoid with parallel sides AB>CD . Points K and L lie on the line segments AB and CD, respectively, so that $\frac{AK}{KB}=\frac{DL}{LC}$. Suppose that there are points P and Q on the line segment KL satisfying $\angle APB=\angle BCD$ and $\angle CQD=\angle ABC$. Prove that the points P,Q,B and C are concylic.(ผมก็จะนำเสนอวิธีของผมในข้อนี้ด้วย)