โจทย์อนุกรม คิดมาหลายชม.แล้วค่ะ

[happypc]

หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1-(3/2)+(5/4)-(7/8)+.....

กับของ 1+(5/3)+(12/9)+(22/27)+(35/81)+...

ช่วยหน่อยนะคะ คิดไม่ออก

[คusักคณิm]

$ 1-(\frac{3}{2} )+(\frac{5}{4} )-(\frac{7}{8} )$
ขออนุญาตแปลงโจทย์นะ

[ต ตุ้e]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

$ 1-(\frac{3}{2} )+(\frac{5}{4} )-(\frac{7}{8} )$

ใบ้ให้
ด้านล่าง2 ห่าง2 4 ห่าง4 8 อั้นนี้คงห่าง6 14 ห่าง8 ............
บน คี่ 3 5 7 9 11 13 ....................

[happypc]

คือแบบว่าคิดได้ว่า พจน์ที่ n คืออะไรแล้วอ่ะค่ะ แต่มันได้ an=2n-1\div (-2)กำลัง n-1 อะคะ

งงๆไหมค่ะ ใช้แบบ Latex ไม่เป็นอ่ะค่ะ

แต่ปัญหาคือ\sum_{n = 1}^{\n} กระจายการหารไม่ได้

[owlpenguin]

ผลจากการยัดใน mathematica ได้ว่า
$\displaystyle\sum_{i = 0}^{n}(-1)^i\frac{2i+1}{2^i}=\frac{1}{9(2^n)}(7 (-1)^n + 2^{n+1} + 6n(-1)^n)$ (อันบน)
และ
$\displaystyle\sum_{i = 0}^{n}\frac{i(3i-1)}{2(3^i)}=\frac{1}{8(3^n)} (-15 + 5(3^{n+1})-16n-6n^2)$ (อันล่าง)

ซึ่ง(คิดว่า)สามารถพิสูจน์โดย Induction ได้ ถึงแม้รูปมันจะออกมาสยองก็ตาม...

ทั้งสอง series นี้ converges ทั้งคู่ โดยอันแรก converge ที่ $\frac{2}{9}$ และอันที่สองที่ $\frac{15}{8}$

[gon]

โจทย์พื้นฐานเรื่องอนุกรมเรขาคณิตผสมอนุกรมพหุนามนะครับ

ข้อแรก ให้ s = 1-(3/2)+(5/4)-(7/8)+..... (1)
จากนั้นนำ 1/2 คูณ สมการ (1) ตลอดเป็นสมการ (2)

นำสมการ (1) + (2) แล้วใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ จะได้ s ตามต้องการ

ข้อสอง คิดเหมือนกัน ให้ s = 1+(5/3)+(12/9)+(22/27)+(35/81)+... (1)
นำ 1/3 คูณ สมการ (1) ตลอดเป็นสมการ (2)
นำสมการ (1) - (2) ได้สมการ (3)
นำสมการนำ 1/3 คูณ สมการ (3) ได้สมการ (4)
นำสมการ (3) - (4) แล้วใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ จะได้ s ตามต้องการครับ

[happypc]

ขอบคุณค่ะ ยังงงอยู่

ใช้สูตรอนุกรมอนันต์มันก้อได้ค่าคงที่รึป่าวคะ

แต่อันนี้ให้หาพจน์ที่ n มันน่าจะติดค่า n นะ

พรุ่งนี้ส่งการบ้านแล้ว T^T มั่วไปแล้วค่ะ

[gon]

ถ้าหา $S_n$ หลักการก็เหมือนเดิมนั่นล่ะครับ เพียงแต่ผมขี้เกียจพิมพ์เพราะค่อนข้างยาวและเหนื่อย ถ้าเป็นการบ้านของนักเรียน ม.ปลาย ก็ถือว่าค่อนข้างจะหนักไปนิดครับ

เช่น $S = 1 -\frac{3}{2} + \frac{5}{4} - \frac{7}{8} + .... + \frac{(-1)^n(2n-3)}{2^{n-2}} + \frac{(-1)^{n+1}(2n-1)}{2^{n-1}} \quad ...(1)$

$\frac{S}{2} = \frac{1}{2} -\frac{3}{4} + \frac{5}{8} - \frac{7}{8} + .... + \frac{(-1)^n(2n-3)}{2^{n-1}} + \frac{(-1)^{n+1}(2n-1)}{2^n} \quad ...(2)$

(1) + (2) : $\frac{3S}{2} = 1 - \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + ... + \frac{(-1)^n(-1)}{2^{n-2}} + \frac{(-1)^{n+1}(2n-1)}{2^n}$

$\frac{3S}{2} = 1 + \frac{(-1)(1-(-\frac{1}{2})^{n-1})}{1+\frac{1}{2}} + \frac{(-1)^{n+1}(2n-1)}{2^n}$

ดังนั้น $S_n = \frac{2}{3}(1 - \frac{(1-(-\frac{1}{2})^{n-1})}{1+\frac{1}{2}} + \frac{(-1)^{n+1}(2n-1)}{2^n})$