rankของเมทริกซ์

[popohappy]

รบกวนผู้รู้หน่อยงับ คือผมไม่รู้ประโยชน์ของ Rank ของเมทริกซ์คืออะไร ถ้ามีนิยามขอหน่อยได้ไหมครับ....

[nongtum]

http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(linear_algebra) น่าจะช่วยแก้ข้อสงสัยได้บ้างครับ

[noot_chy]

Definition
The rank ofamatrix A,denoted r(A),is the number
of non-zero rows in the row-reduced echelon formof A.Thus, r(A) is equal
to the number of leading1’s in the row-reduced echelon form of the matrix A.

Definition
We say that an m*n matrix A has fullrank if r(A)= n,
i.e.,if the RREFof A has a leading one in each column.

[kongp]

ประโยชน์ของ Rank ใช้หา Det ผมก็งงๆ เหมือนกันว่าวิธีนี้หาค่าได้เท่ากับ Conventional Method อย่างไร

[Magic Math]

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $m \times n$ ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง
rank $A$ = $r$
ก็ต่อเมื่อ RREF ของ $A$ มีจำนวนของ leading one เท่ากับ $r$
ก็ต่อเมื่อ RREF ของ $A$ มี $r$ แนวนอนที่ไม่เป็นศูนย์
ก็ต่อเมื่อ ขนาดของ summatrix ที่ใหญ่ที่สุดของ $A$ ซึ่งมี determinant ไม่เป็น $0$ เท่ากับ $r \times r$
ก็ต่อเมื่อ จำนวนเวกเตอร์แนวตั้งที่มากที่สุดของ $A$ ที่เป็นเซตอิสระเชิงเส้นใน $R^n$ เท่ากับ $r$
ก็ต่อเมื่อ จำนวนเวกเตอร์แนวนอนที่มากที่สุดของ $A$ ที่เป็นเซตอิสระเชิงเส้นใน $R^m$ เท่ากับ $r$
ก็ต่อเมื่อ จำนวนเวกเตอร์แนวตั้งที่น้อยที่สุดของ $A$ ที่แผ่ทั่ว $R^n$ เท่ากับ $r$
ก็ต่อเมื่อ จำนวนเวกเตอร์แนวนอนที่น้อยที่สุดของ $A$ ที่แผ่ทั่ว $R^m$ เท่ากับ $r$
ก็ต่อเมื่อ column rank $A$ $=$ $r$
ก็ต่อเมื่อ row rank $A$ $=$ $r$
ก็ต่อเมื่อ มิติของปริภูมิแนวนอนของ $A$ เท่ากับ $r$
ก็ต่อเมื่อ มิติของปริภูมิแนวตั้งของ $A$ เท่ากับ $r$
ก็ต่อเมื่อ มิติของพิสัยของ $A$ เท่ากับ $r$
ก็ต่อเมื่อ มิติของการแปลงเชิงเส้น $T$ ที่กำหนดโดย $T(x)=Ax$ สำหรับ $x \in R^n$ เท่ากับ $r$
ก็ต่อเมื่อ มิติของปริภูมิสู่ศูนย์ของ $A$ เท่ากับ $m-r$

RREF คือ Row Reduce Echelon Form หรือ รูปแบบขั้นบันไดลดรูปของเมทริกซ์

ค่าลำดับชั้นหรือ rank ของเมทริกซ์ สามารถนำมาใช้ประโยชน์ได้หลายอย่าง เช่น
- การหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น
- การพิจารณาว่าเมทริกซ์มีผกผันหรือไม่
- การหามิติของการแปลงเมทริกซ์

ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $n \times n$ จะได้ว่า
rank $A$ $=\: n$ (นั่นคือ $A$ มี full rank) ก็ต่อเมื่อ $A$ มีผกผัน

ดังนั้น ถ้า rank $A \; < n$ จะได้ว่า det $A =0$