Calculus Marathon

[Mastermander]

ข้อ 5 .ผมได้ x = 2

[sompong2479]

ผมว่าโจทย์ง่ายจนไม่น่าเชื่อ เลยไม่คิดว่าเป็นโจทย์แคลอะคับ
ยังไงก็ขอดูวิธีทำของท่านอื่นก่อน

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:
ผมว่าโจทย์ง่ายจนไม่น่าเชื่อ เลยไม่คิดว่าเป็นโจทย์แคลอะคับ
ยังไงก็ขอดูวิธีทำของท่านอื่นก่อน

โจทย์ไม่ยากอ่ะครับ ออกแนว tricky มากกว่า แต่วิธีทำของผมใช้แคลมาช่วยก็เลยเอามาถามครับ

[nooonuii]

อ่าเห็นเงียบๆกันไป ขอเฉลยวิธีคิดของผมก่อนละกันครับ

ให้ $\displaystyle{ f(x) = (\frac{2}{7})^x + (\frac{3}{7})^x + (\frac{6}{7})^x - 1 }$ จะได้ว่า
$\displaystyle{ f'(x) = [\ln{(\frac{2}{7})}](\frac{2}{7})^x + [\ln{(\frac{3}{7})}](\frac{3}{7})^x + [\ln{(\frac{6}{7})}](\frac{6}{7})^x < 0 }$ ทุกค่า $x$
ดังนั้น $f$ เป็น strictly decreasing function ซึ่งจะได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
เพราะฉะนั้นสมการ $f(x)=0$ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว คือ $x=2$

ขออนุญาตถามต่ออีกข้อนึงนะครับ

6. จงหาค่าของ $\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac{1+4^x}{2^x + 6^x} dx }$

[sompong2479]

ครับข้อ 5 ผมก็คิดแบบเดียวกะคุณ nooonuii ครับ จริงๆจาก $f(x)=(2/7)^x+(3/7)^x+(6/7)^x-1$ เห็นได้ชัดว่าเป็นฟังก์ชันลดครับ เพราะ $2/7,3/7,6/7$ ทุกตัวน้อยกว่าหนึ่งครับ

6. ได้ $\frac{1+4^x}{2^x+6^x}=\frac{2^{-x}+2^x}{1+3^x}$ และ $\int_{-1}^1=\int_{-1}^0+\int_0^1$ และ
$$
\begin{eqnarray}
\int_{-1}^0\frac{2^{-x}+2^x}{1+3^x}dx&=&-\int_1^0\frac{2^x+2^{-x}}{1+3^{-x}}dx\\
&=&\int_0^13^x\frac{2^x+2^{-x}}{3^{x}+1}dx
\end{eqnarray}
$$
ดังนั้น
$$
\int_{-1}^1\frac{2^{-x}+2^x}{1+3^x}dx=\int_0^1(2^{-x}+2^x)\;dx=-\frac{2^{-x}}{\ln2}\big|_0^1
+\frac{2^x}{\ln2}\big|_0^1=\frac{3}{2\ln2}
$$

[passer-by]

ข้อ 6 ครึ่งแรก ผมทำเหมือนคุณ sompong2479 แต่ครึ่งหลัง ผมทำแบบนี้ครับ

เพราะ $ \int_{-1}^1\frac{2^{-x}}{1+3^{x}}dx= \int_{-1}^1\frac{2^x}{1+3^{-x}}dx $ (ผลจากการให้ u= -x)

ดังนั้น
$\displaystyle{ \begin{eqnarray} \int_{-1}^1\frac{2^x+2^{-x}}{1+3^x}dx&=&\int_{-1}^1\frac{2^x}{1+3^{x}}dx+ \int_{-1}^1\frac{2^{-x}}{1+3^{x}}dx\\ &=&\int_{-1}^1\frac{2^x}{1+3^{x}}dx+ \int_{-1}^1\frac{2^x}{1+3^{-x}}dx\\&=&\int_{-1}^1 2^x (\frac{1}{3^{x}+1}+\frac{1}{3^{-x}+1})dx\\&=& \int_{-1}^1 2^x dx\\ &=& \frac{3}{2ln2} \end{eqnarray} } $

[nooonuii]

ข้อนี้ผมคิดแบบเดียวกับคุณ Sompong2479 ครับ ส่วนของคุณ passer-by ก็สวยดีครับ อ่าแล้วใครจะเป็นคนถามข้อต่อไปครับ

[M@gpie]

ช่วงนี้ฮิตโจทย์แนวใช้สมมาตรทำให้อินทิกรัลเท่ากันแล้ว ย้ายอินทิกรัลไปบวกกันจังคับ อิอิ

[sompong2479]

7. ให้ $0<a<b$ จงหาค่า $\displaystyle\lim_{t\to0}\left\{\int_0^1[bx+a(1-x)]^tdx\right\}^{1/t}$

แถมอีกข้อละกันครับ

8. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle\int_0^1x^x\;dx=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$

[nooonuii]

7. สำหรับ |t|<1 เราได้ว่า
$\displaystyle{ \int_{0}^{1} [bx+a(1-x)]^t dx= \frac{b^{t+1} - a^{t+1}}{(b-a)(t+1)} }$

ดังนั้น $\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow 0}(\int_{0}^{1} [bx+a(1-x)]^t dx)^{1/t} = \lim_{t\rightarrow 0}[\frac{b^{t+1} - a^{t+1}}{(b-a)(t+1)}]^{1/t} = e }$

โดย L'Hospital Rule.

8. ก่อนอื่นจะแสดงว่า $\displaystyle{ \int_0^1 x^n \ln^n{x}dx = \frac{(-1)^n n!}{(n+1)^{n+1}} }$

$\displaystyle{ \int_0^1 x^n \ln^n{x}dx = -\frac{n}{n+1}\int_0^1 x^n\ln^{n-1}x dx }$.
$\displaystyle{ = (-1)^2 \frac{n(n-1)}{(n+1)^2}\int_0^1 x^n\ln^{n-2}x dx }$
:
:
$\displaystyle{ = (-1)^n \frac{n(n-1)\cdots 1}{(n+1)^n}\int_0^1 x^n dx }$
$\displaystyle{ = (-1)^n \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} }$

โดย successive integration by parts.

เนื่องจาก $\displaystyle{ x^x = e^{x\ln{x}} = 1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n\ln^n{x}}{n!}}$
และอนุกรม converges uniformly ในช่วง (0,1] เราจึงได้ว่า

$\displaystyle{\int_0^1 x^x dx = \int_0^1 [ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n\ln^n{x}}{n!}]dx}$
$\displaystyle{ = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{x^n\ln^n{x}}{n!} dx}$
$\displaystyle{ = 1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}}$
$\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n} }$

[nooonuii]

9. จงหาค่าของ $\displaystyle{\int_0^{2\pi} \frac{1}{\sin^4{x} + \cos^4{x}} dx}$

[tunococ]

ไม่แน่ใจอะคับ ใช่ \(2\sqrt{2}\pi\) รึเปล่าครับ?

[Mastermander]

เงียบจัง ไม่มาเฉลยหน่อยหรอครับ

[nooonuii]

มาเฉลยตามคำเรียกร้องของน้อง Mastermander ครับ คุณ tunococ ตอบถูกแล้วล่ะครับ

My solution : ใช้เอกลักษณ์ $\sin^4{x} + \cos^4{x} = \cos^2{2x} + \frac{1}{2}\sin^2{2x}$ จะได้

$\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\sin^4{x}+\cos^4{x}} \ dx = 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2{2x} + \frac{1}{2}\sin^2{2x}} \ dx }$
$\displaystyle{ = 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2{2x}}{1+ \frac{1}{2}\tan^2{2x}} \ dx }$
$\displaystyle{ = 4 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+ \frac{1}{2}u^2} \ du \,\ < u = \tan{2x}> }$
$=2\pi\sqrt{2}$

คุณ tunococ ได้สิทธิ์ถามข้อต่อไปครับ

[Mastermander]

มาตั้งโจทย์หน่อยสิครับ อยากลองคิดดู(ทั้งๆที่คิดไม่เป็น)