คำถามพีชคณิตเชิงเส้น Linear Algebra

[M@gpie]

ช่วงนี้มีแต่คำถาม แหะๆๆ
ก่อนอื่นดูปัญหาของผมดังนี้ครับ
\[ Let \; S=\{ (x,y,z) \in R^3 : 2x+3y-z=0 \} \; \; determine \; dim(S) \; and \; basis\]
จากเงื่อนไขเซตที่โจทย์ให้มาเขียนได้ว่า
\[ \bmatrix{x \\ y \\ z } = c_1 \bmatrix{ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 } + c_2 \bmatrix{-\frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 }\]
โดยที่ \( \; \ c_1 ,c_2 \; \; \) เป็นค่าคงตัวไม่เจาะจง
และจะได้ว่า \( dim(S) = 2 \; \; and \; \; S=span\{ (-\frac{1}{2},0,1) , (-\frac{3}{2},1,0) \} \)
ซึ่ง basis ชุดหนึ่งทั้งสองคือ \( \{ (-\frac{1}{2},0,1) , (-\frac{3}{2},1,0) \} \)

ปัญหาต่อไปคือ คล้ายๆเดิมครับ \[ Let \; T=\{ (x,y,z) \in R^3 : 2x+3y-(z-1)= 0 \} \; \; determine \; dim(T) \; and \; basis\]
งงล่ะสิครับ เพราะเหมือนกับว่า T จะไม่เป็น Vector space เพราะไม่มีเวกเตอร์ศูนย์เป็นสมาชิก อยู่ แต่ทำไมโจทย์ให้หา ได้ งง เลยครับ หรือว่าโจทย์ผิด ทุกท่านเห็นว่าอย่างไร??

[Punk]

$T$ เป็น affine plane คือ ได้จากการเลื่อน plane $S$ ที่ผ่านจุดกำเนิดใน $\mathbb{R}^3$ ครับ ดังนั้นสามารถนิยามให้ $\text{dim}(T)$ เท่ากับของ plane $S$ เดิมครับ
\[
T=v+S\qquad v=(0,0,-1)
\]

[M@gpie]

งั้นรบกวนถามต่อครับ หา perp T ได้เป็นอะไรครับ ผมหาได้ตัวเดียวคือ เซตของเวกเตอร์ศูนย์ \( \{ 0 \}\)

[Punk]

ได้ศูนย์เช่นเดียวกันครับ

[M@gpie]

ขอบคุณมากครับเข้าใจแล้ว