ตรีโกณมิติ

[No.Name]

พอดีไปเจอมาเลยเอามาฝากน่ะครับ

1.) จงหาค่าของ $\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$

2.) จงหา $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ ที่ทำให้ $\sin 5x=a_0+a_1\sin x+a_2 \sin 2x+...+a_5\sin 5x$

3.) จงหาค่าของ $\left(\,1+\cos\dfrac{\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{3\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{5\pi}{7}\right) $

[No.Name]

เงียบกริบเลยครับ ฮ่าๆๆๆ

ปลุกหน่อยละกัน

[~ArT_Ty~]

ให้ $\omega = \cos \frac{\pi}{7}+i\sin \frac{\pi}{7}$ จะได้ว่า $\omega^7=1$

และจะได้ว่า $$|1+\omega|^2=1+\cos \frac{\pi}{7}$$

$$\therefore \left(\,1+\cos\dfrac{\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{3\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{5\pi}{7}\right)
=\frac{(|1+\omega||1+\omega^3||1+\omega^5|)^2}{8}=\frac{|2\omega|^2}{4}=\frac{1}{2}$$

[No.Name]

#3

$\omega^7=cos\pi+i\sin\pi=-1$

ไม่ค่อยมีใครมากเลย ฮ่าๆ พึ่งได้ข้อเดียว

แนวทาง:2) ใช้ทฤษฎีบทเดอร์มัวฟ์ แล้วก็กระจายทวินามครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

2.) จงหา $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ ที่ทำให้ $\sin 5x=a_0+a_1\sin x+a_2 \sin 2x+...+a_5\sin 5x$

ถ้าผมจะตอบแบบนี้ผมจะได้คะแนนมั้ยครับ

$a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=0$

$a_5=1$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้าผมจะตอบแบบนี้ผมจะได้คะแนนมั้ยครับ

$a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=0$

$a_5=1$

ดีใจนะครับเนี่ย ตอนแรกคิดเหมือนกัน

นึกว่าเป็นโจทย์ที่วัดความรอบครอบ

[No.Name]

3.) จงหาค่าของ $\left(\,1+\cos\dfrac{\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{3\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{5\pi}{7}\right)$

อันนี้พึ่งทำได้(อีกอย่างกลัวร้าง น่าจะร้างแล้วแหละ)

$\left(\,1+\cos\dfrac{\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{3\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{5\pi}{7}\right)=\left(\,1-\cos\dfrac{2\pi}{7}\right) \left(\,1-\cos\dfrac{4\pi}{7}\right) \left(\,1-\cos\dfrac{6\pi}{7}\right)$

$=\left(\,2\sin^2\dfrac{\pi}{7}\right) \left(\,2\sin^2\dfrac{2\pi}{7}\right) \left(\,2\sin^2\dfrac{3\pi}{7}\right)$

$=8 \left(\,\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}\right)^2$

$=8(\dfrac{\sqrt{7}}{8})^2$

$=\dfrac{7}{8}$

เบื้องหลัง

เนื่องจาก $\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}\sin\dfrac{4\pi}{7}\sin\dfrac{5\pi}{7}\sin\dfrac{6\pi}{7}=\dfrac{7}{2^{ 6}}$

$\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}\sin(\pi-\dfrac{3\pi}{7})\sin(\pi-\dfrac{2\pi}{7})\sin(\pi-\dfrac{\pi}{7})=\dfrac{7}{2^6}$

$(\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7})^2=\dfrac{7}{2^6}$

$\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{\sqrt{7}}{8}$

[Amankris]

#7
พิมพ์อะไรผิดป่าวคับ

[BLACK-Dragon]

2.)

$\sin 5x=\dfrac{(\cos 5x+i\sin 5x)-(\cos 5x-i\sin 5x)}{2i}$

$~~~~~~=\dfrac{(\cos x+i\sin x)^5-(\cos x-i\sin x)^5}{2i}$

แบบนี้หรือเปล่า(แอบครูเล่น)

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

2.)

$\sin 5x=\dfrac{(\cos 5x+i\sin 5x)-(\cos 5x-i\sin 5x)}{2i}$

$~~~~~~=\dfrac{(\cos x+i\sin x)^5-(\cos x-i\sin x)^5}{2i}$

แบบนี้หรือเปล่า(แอบครูเล่น)

ลองกระจายดูสิครับ : )

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

2.) จงหา $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ ที่ทำให้ $\sin 5x=a_0+a_1\sin x+a_2 \sin 2x+...+a_5\sin 5x$

แล้วถ้าผมจะตอบว่า

$a_0=\sin{5x}, a_1=a_2=a_3=a_4=0$

ผมจะได้คะแนนมั้ย

โจทย์ข้อนี้ไม่ได้กำหนดขอบเขตของ $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ เอาไว้เลย

คำตอบจึงมีมากมายเป็นอนันต์ครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แล้วถ้าผมจะตอบว่า

$a_0=\sin{5x}, a_1=a_2=a_3=a_4=0$

ผมจะได้คะแนนมั้ย

โจทย์ข้อนี้ไม่ได้กำหนดขอบเขตของ $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ เอาไว้เลย

คำตอบจึงมีมากมายเป็นอนันต์ครับ

เรามีวิธีอย่างไรหรือครับ

ที่จะบอกว่ามันมีจำกัดนะ ว่ามากมายอนันต์นะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

เรามีวิธีอย่างไรหรือครับ

ที่จะบอกว่ามันมีจำกัดนะ ว่ามากมายอนันต์นะ

ถ้าไม่มีขอบเขตของตัวแปรเลย ก็เหมือนกับเราแก้สมการเชิงเส้นเพียงสมการเดียว แต่มี $5$ ตัวแปร

คำตอบจึงมีได้มากมายเป็นอนันต์ เพราะเราสามารถกำหนดค่าตัวแปรตามใจชอบได้เช่น

$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(\sin{5x}-t\sin{x},t,0,0,0), t\in\mathbb{R}$

และอีกมากมายครับ

[Mr.Com]

โจทย์ที่สมบูรณ์แบบคงจะเป็น :-

จงหาค่าคงที่ $a_i$ ที่ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริงทุกจำนวนจริง $x$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mr.Com

โจทย์ที่สมบูรณ์แบบคงจะเป็น :-

จงหาค่าคงที่ $a_i$ ที่ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริงทุกจำนวนจริง $x$

ก็ยังมีหลายคำตอบอยู่ดีครับ ที่ง่ายสุดคือ

$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(0,0,0,0,0,1)$