ตรีโกณมิติ

[No.Name]

ผมอยากเห็น วิธีทำข้อ 1) มากๆเลยครับ

ท่านใดทำได้ ช่วยแสดงเป็นวิทยาทาน แก่ทุกๆท่านด้วยครับ

[Amankris]

#15
มันจะมีหลายชุดจริงๆหรอครับ

#16
นึกว่า จขกท. ทำได้แล้วซะอีก

มาแอบดูคำตอบกันก่อน เห็นแล้วแทบร้องไห้ L I N K

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

1.) จงหาค่าของ $\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$

Outline_Soln

ให้ $a=\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}},b=\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}},c=\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$

จะได้ว่า

$a^3+b^3+c^3=0$

$\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=6$

$abc=-\dfrac{1}{2}$



ให้ $x=a+b+c$ และ $y=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

จะได้ว่า

$x^3=-\dfrac{3}{2}xy+\dfrac{3}{2}$

และ

$y^3=-6xy+12$


แก้สมการได้ $x=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{9}-3}$

[No.Name]

#17 คุณ Amankris เริ่มจาก $9\theta=2n\pi $ หรือเปล่าครับ

ถ้าเริ่มจากตรงอื่นโปรดชี้แนะด้วยครับ

[Amankris]

#18

เริ่มแบบนั้นก็ได้ครับ

หรือจะใช้เอกลักษณ์ตรีโกณอย่างเดียวก็ทำได้เช่นกัน

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#18

เริ่มแบบนั้นก็ได้ครับ

หรือจะใช้เอกลักษณ์ตรีโกณอย่างเดียวก็ทำได้เช่นกัน

ผมลองเริ่มแล้วแต่มันติดตรงนี้

hide

$\cos 5\theta =\cos 4\theta ~~~~~~~~~ \theta =\dfrac{2n\pi}{9},n=1,2,...$

$16\cos^5 \theta-8\cos^4 \theta -20\cos^3 \theta + 8\cos^2 \theta +5\cos \theta -1=0$

$\cos \dfrac{2\pi}{9}\cos \dfrac{4\pi}{9}\cos \dfrac{6\pi}{9}\cos \dfrac{8\pi}{9}\cos \dfrac{10\pi}{9}=\dfrac{1}{16}$

ตรงนี้จะทำอย่างไรให้เหลือแค่ $\cos \dfrac{2\pi}{9}\cos \dfrac{4\pi}{9}\cos \dfrac{8\pi}{9}$มันติดตรง $\cos\dfrac{8\pi}{9}$ นี่แหละครับ

[gon]

ลองดูสมการนี้สิครับ.

$\cos 3A = -\frac{1}{2} = \cos(2n\pi \pm \frac{2\pi}{3})$

$4\cos^3A - 3\cos A = -\frac{1}{2}$

$8\cos^3A - 6\cos A + 1 = 0$

ดังนั้น $\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}\cos \frac{8\pi}{9} = -\frac{1}{8}$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ลองดูสมการนี้สิครับ.

$\cos 3A = -\frac{1}{2} = \cos(2n\pi \pm \frac{2\pi}{3})$

$4\cos^3A - 3\cos A = -\frac{1}{2}$

$8\cos^3A - 6\cos A + 1 = 0$

ดังนั้น $\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}\cos \frac{8\pi}{9} = -\frac{1}{8}$

โห !! สุดยอดมากๆครับ ระดับเซียนในตำนานมาเฉลยเองเลย

แบบนี้มีหลักการอย่างไรหรือครับ

[gon]

ถ้าสังเกตก็คือมุมที่ตัวส่วนเป็นพหุคูณของ 3 ก็เอามาเล่นได้แบบนี้ล่ะครับ.

กล่าวโดยทั่วไป ถ้า $\alpha$ เป็นมุมบวกเล็กสุดที่ทำให้ $\cos n\theta = \cos \alpha$ แล้วจะได้ว่า
$\cos \theta = \cos \frac{\alpha}{n}, \cos \frac{2\pi \pm \alpha}{n}, \cos \frac{4\pi \pm \alpha}{n}, ... , \cos \frac{(n-1)\pi \pm \alpha}{n}$

เมื่อ n เป็นจำนวนคี่บวก

ในกรณีพิเศษ เมื่อ $n = 3$ จากเอกลักษณ์
$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3cos \theta = \cos \alpha$

ดังนั้น $4\cos^3 \theta - 3cos \theta - \cos \alpha = 0$

ก็จะได้สูตรทั่วไปว่า

$$\cos \frac{\alpha}{3} \cos \frac{2\pi + \alpha}{3}\cos \frac{2\pi - \alpha}{3} = \frac{\cos \alpha}{4}$$

นั่นเอง

จดเก็บไว้ใช้งานได้เลย.

ในที่นี้ก็เลือก $\alpha = 2\pi/3$ ลงไป ก็จะได้กรณีเฉพาะ ตามที่ต้องการครับ.

[Amankris]

#20
ที่ไปต่อไม่ได้เพราะสรุปผิดนะครับ

ดูรากทั้งห้าตัวดีๆนะ

[No.Name]

#24

ผิดจริงๆ ด้วยครับขอบคุณครับ ควรเริ่มที่ 0 สินะครับ

[nooonuii]

ข้อ $2$ ต้องขออภัยทุกท่านจริงๆครับ ผมคงคิดลึกเกินไป

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

2.) จงหา $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ ที่ทำให้ $\sin 5x=a_0+a_1\sin x+a_2 \sin 2x+...+a_5\sin 5x$

$\sin 5x=16\sin 5x-20\sin 3x+5$

หรือเปล่าครับ

[Amankris]

#27
ไม่รู้ว่าหามายังไงนะ แต่ไม่ใช่แน่นอน

[Keehlzver]

ของคุณ Black dragon $x=0$ ก็ขัดแย้งแล้วครับ

พี่ nooonuii ไม่จำเป็นต้องขอโทษหรอกครับ ผิดก็คือผิด ถูกก็คือถูกครับ (ด้วยเหตุนี้ผมถึงได้นับถือพี่ nooonuii ไว้เหนือหัวเสมอ )
$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(\sin 5x,0,0,0,0,0) , (0,0,0,0,0,1) , (0,\frac{\sin 5x}{\sin x},0,0,0,0) , (0,0,\frac{\sin 5x}{\sin 2x},0,0,0)$
และยังมีอีกมากมาย ถ้าอยากให้มีคำตอบเดียวก็ต้องกำชับโจทย์ครับผม

[lek2554]

ข้อ 2 โจทย์เป็นแบบนี้หรือเปล่าครับ

$sin5x=a_0+a_1sinx+a_2sin^2x+a_3sin^3x+a_4sin^4x+a_5sin^5x$