2011 Primary Math World Contest Tryouts Problems

[PoomVios45]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เพิ่งคิดวิธีทำข้อนี้แบบไม่ต้องใช้ mod



มาดูวนรอบของเลขหลักหน่วยของ $7^n$
$7^1$ หลักหน่วยคือ $7$
$7^2$ หลักหน่วยคือ $9$
$7^3$ หลักหน่วยคือ $3$
$7^4$ หลักหน่วยคือ $1$
วนรอบละ $4$....ดังนั้นเราเอา $4$ไปหาร $7^{7^7}$ จะดูว่าตกที่ลงท้ายด้วยเลขอะไร

สังเกตว่า $7=4+3$ เศษคือ $3$
$7^2=49=4(12)+1$ เศษคือ $1$
จากนั้นเศษที่ได้จาก$7^n$ ก็ได้จากการสร้างจากสองข้อข้างต้น
$7^3=7\times 7^2$ เศษคือ $3$
$7^4=7^2\times 7^2$ เศษคือ $1$
สังเกตได้อีกว่า เลขยกกำลังเป็นเลขคี่ ได้เศษคือ $3$ และ เลขยกกำลังเป็นเลขคู่ ได้เศษคือ$1$

ดังนั้นหาให้ได้ว่า $7^7$ เป็นเลขคู่หรือคี่ จากข้างต้นที่เราหาวนรอบ เห็นว่าเลขท้ายคือ $7,9,3,1$ ยังไงก็เป็นเลขคี่
จะได้ว่า $4$ไปหาร $7^{7^7}$ จะวนตกมาที่เศษ $3$
$7^3$ หลักหน่วยคือ $3$
ดังนั้นได้คำตอบแล้วว่า ตัวเลขหลักหน่วยของ $7^{7^{7^7}}$ คือเลข $3$