โจทย์พีชคณิต ในวารสารของสอวน

[ปากกาเซียน]

$a,b,c\in \mathbf{Z^+}$ จงแสดงว่าถ้า$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$เป็นจำนวนเต็มบวก
แล้ว $abc$เป็นกำลัง3สมบูรณ์

[artty60]

$a=k_1b$

$b=k_2c$

$c=k_3a$

$abc=k_1k_2k_3abc$

$k_1k_2k_3=1$

$k_1=k_2=k_3=1$

$\therefore a=b=c$

ดังนั้น $abc$ จึงเป็นกำลังสามสมบูรณ์

[ปากกาเซียน]

kไม่จำเป็นต้องเป็น1ก็ได้ไม่ใช่หรอครับ

[artty60]

$k_1k_2k_3=1$

แต่ $k_1,k_2,k_3\in \mathbf{I} $

[Beatmania]

คุณ Artty60 พิสูจน์ในทำนองว่า
"ถ้า$\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \in \unicode{8469} $ แล้ว $\frac{a}{b} ,\frac{b}{c} ,\frac{c}{a} \in \unicode{8469} $"
ใช่ปะครับ
แต่ที่จริงแล้ว ถ้า $a=1,b=2,c=4$ มันก็จะทำให้
$\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} =\frac{1}{2} +\frac{2}{4} +\frac{4}{1} = 5 \in \unicode{8469} $
ได้นะครับ

[gnap]

ใช่ครับkอาจเป็นเศษส่วนได้

[polsk133]

1. พิสูจน์ว่า (a,b,c)=1 ก็ไม่ทำให้ผลเปลี่ยน
2. ให้ $a=p^ra' ,b=p^sb' ,c=p^yc' $ ซึ่งถ้าเราพิสูจน์ได้ p ตัวนึงก็จะได้กับ p ทุกตัว
3. จะได้ว่า มี r,s,t ตัวนึงเป็น 0 สมมติให้เป็น r
4. พิสูจน์ว่า s,t>0
5. พิสูจน์ว่า ต้อง s=2t หรือ t=2s
6. ก็จะได้คูณกันเป็น $p^{3(s,t)}a'b'c' $

[ปากกาเซียน]

ข้อ3มาได้ไงครับ

[Anarist]

3. มาจาก (a,b,c) = 1 น่ะครับ

2. ข้างบนน่าหมายถึง $c = p^t c'$

จริงๆ จาก 3. แล้วพิสูจน์ได้เลยว่า $t =2s$ ครับ

[polsk133]

ขอโทษทีครับรีบเขียนไปหน่อย
ส่วนข้อ5ที่ใช้ หรือ เพราะผมลืมอะครับว่าจะได้อันไหน

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

6. ก็จะได้คูณกันเป็น $p^{3(s,t)}a'b'c' $

คือจะรู้ได้ไงเหรอครับว่า $a'b'c'$. เป็นกำลังสามสมบูรณ์

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่ทะลวงด่าน

คือจะรู้ได้ไงเหรอครับว่า $a'b'c'$. เป็นกำลังสามสมบูรณ์

คือเราพิสูจน์ด้วยตัว p ใดๆอะครับ ดังนั้นแสดงว่ามันต้องเป็นกับ p ทุกตัวที่เป็นตัวประกอบของ abc

ผมคิดว่าน่าจะงี้นะ ถ้าผิดพลาดก็ขอโทษด้วยครับ

[TU Gifted Math#10]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

1. พิสูจน์ว่า $(a,b,c)=1$ ก็ไม่ทำให้ผลเปลี่ยน
2. ให้ $a=p^ra' ,b=p^sb' ,c=p^yc' $ ซึ่งถ้าเราพิสูจน์ได้ $p$ ตัวนึงก็จะได้กับ $p$ ทุกตัว
3. จะได้ว่า มี $r,s,t$ ตัวนึงเป็น $0$ สมมติให้เป็น $r$
4. พิสูจน์ว่า $s,t>0$
5. พิสูจน์ว่า ต้อง $s=2t$ หรือ $t=2s $
6. ก็จะได้คูณกันเป็น $p^{3(s,t)}a'b'c' $

วิธีของคุณ polsk133 ที่ต้องการจะสื่อคือ สำหรับ $p$ จำนวนเฉพาะ ใดๆ จะพิสูจน์ว่า $abc$ มี $p$ เป็นตัวประกอบอยู่ทั้งหมด $3k$ ตัว $\exists k\in\mathbb{Z}^+_0$

[ปากกาเซียน]

ข้อนี้มันมีในzenith เล่มไหนรึเปล่าครับ

[polsk133]

มีในTMO ล่าสุดอะครับ