|
|
#1
06 มิถุนายน 2018, 10:08
|
||||
|
||||
ลำดับพหุนาม
ลำดับพหุนามคือลำดับที่สามารถเขียนพจนทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามเช่น
1. ลำดับที่มีพจน์ทั่วไป$a_n=3n-1$เป็นลำดับที่สามารถเขียนพจน์ทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี1 จึงเรียกลำดับ$a_n=3n-1$ว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่1....หรือที่รู้จักกันในชื่อลำดับเลขคณิต 2.ลำดับที่มีพจน์ทั่วไป$a_n=n^2+3n-1$เป็นลำดับที่สามารถเขียนพจน์ทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี2 จึงเรียกลำดับ$a_n=n^2+3n-1$ว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่2.... หรือ3.ลำดับที่มีพจน์ทั่วไป$a_n=n^3-n^2+3n-1$เป็นลำดับที่สามารถเขียนพจน์ทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี3 จึงเรียกลำดับ$a_n=n^3-n^2+3n-1$ว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่3....เป็นต้น ยกตัวอย่างเฉพาะเจาะจงลงไปเช่น จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ $5 , 19 , 42 , 76 , 123 ,...$ ซึ่งลำดับดังกล่าวเป็นลำดับพหุนามอันดับที่3เพราะมีคำตอบเป็น$[a_n=\frac{n^3}{3}+\frac{5}{2}^2+\frac{25}{6}n-2]$ วิธีการระบุว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่3ได้อย่างไรและการหาพจน์ทั่วไปคืออะไรแสดงรายละเอียดตามภาพ... ซึ่งจะนำไปสู่การหาอนุกรมของลำดับพหุนามได้ต่อไป
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 
|
|
#2
18 มิถุนายน 2018, 21:51
|
||||
|
||||
|
นอกจากวิธีเชิงเมตริซ์สามารถนำมาใช้หาพจน์ทั่วไปของลำดับที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปฟังก์ชันพหุนามได้แล้ว
ด้วยวิธีการเดียวกันนี้ยังสามารถใช้หาอนุกรมของลำดับนั้นได้ด้วยตัวอย่างเช่นอนุกรม 5+19+42+76+123+...+จนถึงnพจน์จะได้ $S_1=5,S_2=24,S_3=66,S_4=142,S_5=265,S_6=450,...$ นำลำดับของ$S_n$มาหาผลต่างพจน์เป็นชั้นๆจนได้ผลต่างคงที่แล้วนำมาดำเเนินการด้วยวิธีเชิงเมตริกซ์ จะสามารถหาพจน์ทั่วไปของอนุกรมได้ในที่สุด.....
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#4
31 ตุลาคม 2018, 13:36
|
||||
|
||||
|
การใช้เมตริกซ์คูณพหุนาม
ความพยายามในการรวมมุมมองพหุนามเข้ากับเมตริกซ์-------(มีการแก้ไขครับ)
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 31 ตุลาคม 2018 15:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: แก้ไขรูป
|
|
#5
31 ตุลาคม 2018, 15:56
|
||||
|
||||
|
การใช้เมตริกซ์คูณพหุนาม
อ้างอิง:
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#7
10 กรกฎาคม 2019, 14:16
|
||||
|
||||
|
พหุนามของความสัมพันธ์เวียนเกิด
...ตัวอย่างเช่นความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$ เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ3... โดยมีพจน์ที่1และ2เป็น$a_1และa_2ตามลำดับ$ ....จะได้ว่าความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ $$a_n=A\frac{p_1^n}{p_1-p_2} +B\frac{p_2^n}{p_2-p_1} $$ เมื่อ$p_1,p_2เป็นรากของสมการ x^2-\alpha x-\beta =0$ และ$A=\frac{\vmatrix{a_1 & \frac{p_2}{p_2-p_1} \\ a_2 & \frac{p_2^2}{p_2-p_1} } }{\vmatrix{\frac{p_1}{p_1-p_2} & \frac{p_2}{p_2-p_1} \\ \frac{p_1^2}{p_1-p_2} & \frac{p_2^2}{p_2-p_1} } } $ $B=\frac{\vmatrix{ \frac{p_1}{p_1-p_2}&a_1 \\ \frac{p_1^2}{p_1-p_2}&a_2 } }{\vmatrix{\frac{p_1}{p_1-p_2} & \frac{p_2}{p_2-p_1} \\ \frac{p_1^2}{p_1-p_2} & \frac{p_2^2}{p_2-p_1} } } $
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#8
12 กรกฎาคม 2019, 09:58
|
||||
|
||||
|
...กรณีเฉพาะของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$ เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ3... โดยมีพจน์ที่1และ2หรือ$a_1=1และa_2=\alpha ตามลำดับแล้ว$ ...จะได้ว่าความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ $$a_n=\frac{p_1^n}{p_1-p_2} +\frac{p_2^n}{p_2-p_1} $$ เมื่อ$p_1,p_2เป็นรากของสมการ x^2-\alpha x-\beta =0$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#9
15 กรกฎาคม 2019, 10:06
|
||||
|
||||
|
♡พหุนามของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นย้อนหลังสามพจน์♡
...ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นและย้อนหลัง3พจน์หรือ...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$ เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ4... โดยมีพจน์ที่1,2และ3คือ$a_1=1,a_2=\alpha และa_3=\alpha ^2+\beta ตามลำดับแล้ว$ ...จะได้ความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ $$a_n=\frac{p_1^{(n+1)}}{(p_1-p_2)(p_1-p_3)} +\frac{p_2^{(n+1)}}{(p_2-p_1)(p_2-p_3)} +\frac{p_3^{(n+1)}}{(p_3-p_1)(p_3-p_2)} $$ เมื่อ$p_1,p_2และp_3เป็นรากของสมการ... x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#10
25 กรกฎาคม 2019, 13:24
|
||||
|
||||
|
อนุกรมของความสัมพันธ์เวียนเกิด
"ลำดับที่มีความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...อนุกรมของลำดับนั้นจะมีความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นด้วยเช่นกัน"
...ตัวอย่างเช่นลำดับฟิโบนาชี $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}เมื่อa_1และa_2=1$$หรือ... ลำดับในรูป ...1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... จะมีอนุกรมฟิโบนาชีเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดที่เขียนได้ในรูป $$S_n=2S_{n-1}-S_{n-3}เมื่อS_1=1,S_2=2และS_3=4$$ โดย $S_n=a_1+a_2+...+a_n$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#11
26 กรกฎาคม 2019, 11:43
|
||||
|
||||
|
...ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นย้อนหลัง2พจน์หรือ..
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2},เมื่อมีพจน์ที่1และ2เท่ากับa_1และa_2ตามลำดับ$$ จะมีอนุกรมของความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูป... $$S_n=(\alpha +1)S_{n-1}+(\beta -\alpha )S_{n-2}-\beta S_{n-3}$$ โดย$S_1=a_1$ $S_2=a_1+a_2$ และ$S_3=a_1+a_2+a_3$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#12
01 สิงหาคม 2019, 11:40
|
||||
|
||||
|
รากของพหุนามกับความสัมพันธ์เวียนเกิด
....พหุนามกำลัง3ที่มีรากของสมการอย่างน้อย1ค่าอยู่ระหว่าง0กับ1...และอยู่ในรูป
$$x^3=\alpha x^2+\beta x+\gamma $$ จะสามารถหารากของสมการโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด... $$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$ ...โดย$a_1=1,a_2=\alpha และa_3=\alpha ^2+\beta $และรากของสมการกำลังสอง $$\lim_{n \to \infty} [a_nx^2+(\beta a_{n-1}+\gamma a_{n-2})x+\gamma a_{n-1}]=0$$ โดย$0<x<1$จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามกำลังสามนั้นด้วย
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#13
06 สิงหาคม 2019, 10:13
|
||||
|
||||
|
ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต
อ้างอิง:
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$ โดย$a_1=1และa_2=\alpha $ ซึ่งคือ$x^2=\alpha x+\beta $มีรากสมการเพียงค่าเดียวคือ$p$ ความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปคือ... $$a_n=np^{n-1}$$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#14
14 สิงหาคม 2019, 10:48
|
||||
|
||||
|
ลำดับพหุนามกับความสัมพันธ์เวียนเกิด
"ลำดับที่มีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปฟังก์ชันพหุนาม...จะสามารถเขียนลำดับนั้นให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เสมอ"
เช่น...1.ลำดับ$a_n=3n-1$จะมีรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ... $$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}$$ $เมื่อa_1=2และa_2=5$ 2.ลำดับ$a_n=n^2+3n-1$จะมีรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ... $$a_n=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}$$ $เมื่อa_1=3,a_2=9และa_3=17$ ...หรือ3.ลำดับ$a_n=n^3-n^2+3n-1$จะมีรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ... $$a_n=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}$$ $เมื่อa_1=2,a_2=9,a_3=26และa_4=59$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|
|
#15
20 สิงหาคม 2019, 10:37
|
||||
|
||||
|
การหาอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น
เช่นความสัมพันธ์$$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}โดยa_1=1และa_2=2$$
$$หรือลำดับ1,2,4,8,16,...$$ ...ถ้าดูอย่างผิวเผินจะเห็นว่าเป็นความสัมพันธ์ที่จำเป็นจะต้องรู้พจน์ก่อนหน้าพจน์ที่จะหาถึง2พจน์ แต่ถ้าพิจารณาให้ดีให้ถี่ถ้วนจะเห็นว่าความสัมพันธ์ที่กล่าวถึงนี้คือลำดับเรขาคณิตนั่นเอง.. แค่ทราบพจน์ก่อนหน้าพจน์ที่จะหาเพียงพจน์เดียวก็น่าจะเพียงพอแล้ว .. หรือสามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์แทนได้ว่า$a_n=2a_{n-1}เมื่อa_1=1$เท่านั้น..ถูกมั้ยครับ.. ทำให้บอกได้ว่าความสัมพันธ์$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2},a_1=1และa_2=2$... สามารถลดรูปเหลือ$a_n=2a_{n-1},a_1=1$ได้... ซึ่งก็คือความสัมพันธ์$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2},a_1=1และa_2=2$มีอันดับ(Ranking)เท่ากับ1
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 21 สิงหาคม 2019 12:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: ลองพิจารณาดู
|
  |
|
|
