subgroup & normal subgroup

[mercedesbenz]

Let $G$ be a group, $a \in G$ , $H$ is subgroup of $<a>$ and $<a>$ $\triangleright$ $G$. Prove that $H$ $\triangleright$ $G$.
where $<a>$ is cyclic group which is generated by $a$.

ขอแนวคิดหน่อยนะครับ คิดเท่าไหร่ไม่ออกสักที

[nooonuii]

Since $H$ is a subgroup of $<a>$, $H=<a^k>$ for some $k$. The following identity may help
$$ga^ng^{-1}=(gag^{-1})^n.$$

Interesting Problem : Is the following statement true?

If $K$ is a normal subgroup of $H$ and $H$ is a normal subgroup of $G$ then $K$ is a normal subgroup of $G$.

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากครับที่ชี้แนะแนวทาง ส่วน Interesting Problem ผมคิดว่าน่าจะผิดนะครับ
แต่ตอนนี้ยังยกตัวอย่างไม่ได้ ขอเวลาคิดหน่อยนะครับจะพยายามหามาให้ได้

[mercedesbenz]

รบกวนอีกข้อนะครับ
If $G/C(G)$ is cyclic group then G is abelian group.
where $G/C(G)$ is $G ~mod ~C(G)$ and $C(G)=\{x\in G | xy=yx ~for~ all ~y\in G\}$
เท่าที่ผมคิดได้คือ
Since $G/C(G)$ is cyclic group then $G/C(G)$ is abelian
i.e. for all $x,y \in G.$
$\begin{eqnarray}
xC(G)yC(G)&=&yC(G)xC(G)\\
\Longrightarrow xyC(G)C(G)&=&yxC(G)C(G)
\end{eqnarray}$
พอจะมีโอกาสทำให้ xy=yx ได้หรือเปล่าครับ หรือว่าผมทำผิดประการใดช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

[nooonuii]

Since $G/C(G)$ is cyclic, $G/C(G)=<aC(G)>$ for some $a\in G$. Let $x,y\in G$. Then $$x=a^kb,y=a^lc$$

for some $k,l\in\mathbb{Z}$ and $b,c\in C(G)$. Show that $xy=yx$.

[nooonuii]

Interesting Problem : Is the following statement true ?

If $G/C(G)$ is abelian, then $G$ is abelian.

[mercedesbenz]

ก่อนอื่นต้องขอบคุณ คุณ nooonuii อย่างมากเลยนะครับที่ช่วยชี้แนะแนวทางให้ พอแนะให้แล้วก็ทำได้เลย
แต่ก่อนหน้านั้นคิดอะไรก็ไม่ออกสักที เนี๊ยแหละครับข้อเสียของผม อาจจะเป็นเพราะว่า
ประสบการณ์ในการพิสูจน์มีน้อยครับ ถึงยังไงก็จะพยายามต่อไปครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Interesting Problem : Is the following statement true ?

If $G/C(G)$ is abelian, then $G$ is abelian.

มันก็คือสิ่งที่ผมพยายามพิสูจน์ โดยใชแค่คุณสมบัติการเป็นการเป็น abelian group ใช่ไหมครับ
แต่ผมพยามเท่าไหร่ก็คิดไม่ออกสักที จึงขอเดาว่า ข้อความนี้ไม่จริงครับ
(เป็นการติ๊ต่างเกินไปหรือเปล่านะ)

Since $G/C(G)$ is cyclic group then $G/C(G)$ is abelian
i.e. for all $x,y \in G.$
$\begin{eqnarray}
xC(G)yC(G)&=&yC(G)xC(G)\\
\Longrightarrow xyC(G)C(G)&=&yxC(G)C(G)
\end{eqnarray}$
ทำให้ xy=yx ไม่ได้สักที

[nooonuii]

ลองฝึกคิดให้เป็นระบบครับ

เทคนิคการทำโจทย์พิสูจน์ส่วนใหญ่จะเริ่มจาก

สิ่งที่เราต้องการพิสูจน์แล้วแปลงกลับไปยังจุดเริ่มต้น

ที่เราจะพิสูจน์เราต้องหาให้ได้ว่าเราจะเอาเงื่อนไขที่

โจทย์กำหนดให้มาใช้ยังไง อันนี้สำคัญเพราะจะเป็น

ตัวช่วยเช็คด้วยว่าเราคิดถูกรึเปล่า ถ้าโจทย์มีความรัดกุมพอ

เงื่อนไขที่โจทย์ให้มาจะต้องถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ที่ใดที่หนึ่งครับ

อย่างข้อนี้โจทย์ให้มาว่า $G/C(G)$ cyclic เราก็ต้อง

นำคุณสมบัติของ cyclic group มาใช้ครับ

เราอาจจะคิดต่อว่าเอ๊ะ เราใช้แค่การที่มันเป็น abelian group ไม่ได้เหรอ

แต่ก็ควรเอะใจซักนิดนึงว่าถ้าโจทย์ใช้แค่คุณสมบัติของ abelian group

ทำไมเขาต้องให้เงื่อนไขของ cyclic group มาซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ดีกว่า abelian group

แสดงว่าเราต้องใช้คุณสมบัติของ cyclic group สิถึงจะพิสูจน์ความจริงนี้ได้

และถ้าอย่างนั้นการที่เราสมมติว่า $G/C(G)$ เป็นแค่ abelian group

ก็ไม่น่าจะพอพิสูจน์โจทย์ข้อนี้ จึงควรหาตัวอย่างมาค้านข้อความนี้แทนที่จะพิสูจน์

(ตัวอย่างที่ว่าสามารถค้าน Interesting Problem ทั้งสองข้อครับ ใบ้ให้ว่าเป็น Group

ที่มีสมาชิกแปดตัว) สิ่งที่ผมทำอยู่บ่อยๆในการเขียนพิสูจน์คือ

1. เขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการพิสูจน์ แปลความหมายไปสู่สิ่งที่เราเข้าใจได้ง่าย

2. เขียนสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้พร้อมกับตรวจสอบว่าเราได้ใช้สิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้ครบถ้วนรึยัง

3. พยายามหาทฤษฎีบทที่เราเคยเรียนมาแล้วว่าจะสามารถช่วยในการพิสูจน์ได้หรือไม่่่่่

(ส่วนใหญ่โจทย์จะเน้นให้เราใช้ความรู้ไม่เกินขอบเขตเนื้อหาที่เราเรียนมาแล้ว)

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii อ่านแล้วทำให้รู้สึกว่า อยากจะตั้งใจเรียนมากขึ้นกว่านี้
และผมจะพยายามฝึกคิดอย่างเป็นระบบอย่างที่คุณ nooonuii บอก เผื่อว่าสักวันจะได้พิสูจน์เก่งอย่างคุณ nooonuii บ้าง

[nooonuii]

จริงๆแล้วที่ผมบอกว่าเราต้องนำเงื่อนไขโจทย์มาใช้ให้ครบก็ไม่ถูกซะทีเดียวครับ เพราะมีโจทย์บางข้อที่เราอาจจะพิสูจน์โดยใช้เงื่อนไขที่อ่อนกว่านั้น ถ้าเราพิสูจน์ไปพิสูจน์มาแล้วพบว่าเราไม่ได้ใช้เงื่อนไขโจทย์ให้ตั้งข้อสังเกตไว้สองอย่างคือ

1. เราเก่งกว่าเจ้าของโจทย์ และ

2. เราคิดผิดครับ

[mercedesbenz]

ขออนุญาตใช้กระทู้นี้ถามคำถามที่เกี่ยวกับ Isomorphic ต่อนะครับ
ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $k\in \mathbb{N} \cup \{0\}$
นิยาม $\mathbb{Z}_{p^{k}}=\{\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z}~ |~a\in \mathbb{Z} \}$
และ $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}=\{\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z} ~|~a\in \mathbb{Z} ~and~ k\in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$
เราพบว่า $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}=<\{\frac{1}{p^{k}}+\mathbb{Z}\}>$
จงแสดงว่า ถ้า $H<\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ และ $H\not= \mathbb{Z}_{p^{\infty}}$
แล้ว $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}/H \cong \mathbb{Z}_{p^{\infty}}$
เท่าที่พยายามหา Hint มาพบว่า นิยามการส่ง
$$(\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z}) \mapsto p^{k_{0}}(\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z})+H$$
เมื่อ $H=\mathbb{Z}_{p^{k_{0}}}$ สำหรับบาง $k_{0}\in \mathbb{N} \cup \{0\}$

แต่ผมทำแล้วไม่เข้าใจตรงที่ว่า ทำให้ เป็น function 1-1 & onto เพราะผมไม่รู้จะตัด $H$ ออกไปยังไงเพราะ $H$ เป็นเซต ก็เลยอยากถามว่า นิยามการส่งแบบนั้นใช้ได้จริงรึเปล่า ถ้าใช้ได้จริงต้องพิสูจน์ยังไงครับ
แค่ Hint ให้ผมก็ได้ครับ เพราะคำถามผมยาวมาก
ส่วน Interesting Problem ของพี่ nooonuii ผมกำลังพยายามหาอยู่น่ะครับ ผมสัญญาว่าจะต้องหาคำตอบมาให้ได้ครับ

[nooonuii]

เทคนิคที่ใช้อยู่บ่อยๆในการพิสูจน์ isomorphism ของ group ที่เป็น quotient group ก็คือการใช้ First Isomorphism Theorem ครับ ซึ่งกล่าวว่า

ถ้า $f:G\to H$ เป็น epimorphism(onto homomorphism) เราจะได้ว่า $$G/Ker(f) \cong H$$
ดังนั้นจะพิสูจน์โจทย์ข้อนี้ก็นิยามฟังก์ชัน
$$f:\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\to\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$$
ซึ่งทำให้

1. $f$ เป็น onto homomorphism
2. $Ker(f)=H$

ซึ่งผมคิดว่าการนิยาม $f$ แบบนี้ทำได้ง่ายกว่ามากครับ

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เทคนิคที่ใช้อยู่บ่อยๆในการพิสูจน์ isomorphism ของ group ที่เป็น quotient group ก็คือการใช้ First Isomorphism Theorem ครับ ซึ่งกล่าวว่า

ถ้า $f:G\to H$ เป็น epimorphism(onto homomorphism) เราจะได้ว่า $$G/Ker(f) \cong H$$
ดังนั้นจะพิสูจน์โจทย์ข้อนี้ก็นิยามฟังก์ชัน
$$f:\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\to\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$$
ซึ่งทำให้

1. $f$ เป็น onto homomorphism
2. $Ker(f)=H$

ซึ่งผมคิดว่าการนิยาม $f$ แบบนี้ทำได้ง่ายกว่ามากครับ

ผมต้องนิยาม $f:\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\to\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$
ขึ้นมาเองใช่ไหมครับ และ $Ker(f)=H$ ได้อย่างไรครับ
และจาก First Isomorphism Theorem จะได้ $G/Ker(f) \cong Im(f)$ ไม่ใช่หรือครับ หรือว่าเพิ่มเงื่อนไขที่ f เป็น epimorphism

[nooonuii]

จะใช้ First Isomorphism Theorem

เราต้องสร้างให้ $f$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึงครับ เราจึงได้

$Im(f)=\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$

และเราต้องสร้าง $f$ ให้ $Ker(f)=H$ ด้วยครับ

ฟังก์ชัน $f$ น่าจะมาจากคุณสมบัติของ $H$ ครับ

หน้าตาไม่น่าประหลาดมาก

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii ที่ช่วยแนะนำ คือ ผม define ฟังก์ชันเป็น
$$f(\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z} )=p^{k_{0}}(\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z})$$
เมื่อ $H=\mathbb{Z}_{p^{k_{0}}}$ สำหรับบาง $k_{0}\in \mathbb{N} \cup \{0\}$
แบบนี้ใช้ได้รึเปล่าครับ
ที่เรียน First Isomorpism Theorem ไป ไม่เคยคิดเลยนะครับเนี่ยว่าจะได้ใช้ประโยชน์
ดีใจมากเลยครับอย่างน้อยที่เรียนไปก็ได้ใช้ประโยชน์กับมันบ้าง