subgroup & normal subgroup

[nooonuii]

ทฤษฎีบทที่มีชื่อคือทฤษฎีที่เรานำไปใช้อ้างอิงในการพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นๆครับ เราต้องจำและนำทฤษฎีบทเหล่านี้ไปใช้เมื่อมีโอกาส ชื่อทฤษฎีขึ้นต้นว่า First แสดงว่าต้องมีภาคต่อเป็น Second, Third, Fourth แน่นอน อีกเดี๋ยวก็คงได้เจอครับ
ทฤษฎีบทเหล่านี้เราคงได้ใช้มันจนจำได้ขึ้นใจเลยทีเดียวถ้ายังอยู่ในวงการพีชคณิตครับ

[mercedesbenz]

นิยาม $$ \prod_{i\in I}A_{i}=\{f:A_{i}\rightarrow \bigcup_{i\in I}A_{i}|f(i)\in A_{i}~ \text{for all}~ i\in I\}$$
นิยาม $$\prod_{i\in I}^{\omega}A_{i}=\{f\in \prod_{i\in I}G_{i}|f(i)=e_{i}~\text{ for all but a finite number of}~ i\in I \} $$
and this set is called external weak direct product
นิยาม $$L_{k}:A_{k}\rightarrow \prod_{i\in I}A_{i}$$ defined by
$L_{k}(a)=\{a_{i}\}$ where $a_{i}= a$ if $ i=k$ and $a_{i}= e_{i}$ if $i\not= k$
จากการนิยามเช่นนี้เราจะได้ว่า $\forall k\in I$
$$L_{k}(G_{k})\triangleleft \prod_{i\in I}^{\omega}G_{i}$$
มี Theorem หนึ่งกล่าวว่า
Let $\{N_{i}|i\in I\}$ be a family of normal subgroup of G such that
i) $G=<\bigcup_{i\in I}N_{i} >$ and
ii)$\forall k\in I, N_{k}\cap <\bigcup_{i\in {I-\{k\}}}N_{i}>$
then $G\cong \prod_{i\in I}^{\omega}N_{i}$
The group G which satifies i) and ii) of this Theorem is called the internal weak direct product of $\{N_{i}|i\in I\}$
คำถามมีอยู่ว่า Prove that
If $\{G_{i}|i\in I\}$ is a family of group, then $\prod_{i\in I}^{\omega}G_{i}$
is the internal weak direct product of $\{L_{i}(G_{i})|i\in I\}$
คือผมอยากแสดงว่า
i) $\prod_{i\in I}^{\omega}G_{i}=<\bigcup_{i\in I}L_{i}(G_{i}) >$
ii) For all $k\in I,L_{k}(G_{k})\cap <\bigcup_{i\in I-\{k\}}L_{i}(G_{i})>=\{e_{i}\}.$
จะต้องพิสูจน์อย่างไรให้ได้ตามคุณสมบัติสองข้อนี้ และผมยังไม่ค่อยเข้าใจ group พวกนี้เท่าไหร่
ใครชำนาญด้านนี้อธิบายให้หน่อยนะครับ จักเป็นพระคุณยิ่ง และถ้ายังขาดข้อมูลอะไรก็บอกได้นะครับ
เดี่ยวผมจะมาพิมพ์เพิ่มเติมให้ หรือดูเพิ่มเติมที่
www.math.wvu.edu/~hjlai/Teaching/Math541-641/Lecture_Notes_2006/Week_3.pdf

[nooonuii]

นิยาม $$\prod_{i\in I}^{\omega}A_{i}=\{f\in \bigcup_{i\in I}G_{i}|f(i)=e_{i}~\text{ for all but a finite number of}~ i\in I \} $$
and this set is called external weak direct product

$f\in\prod_{i\in I}A_i$ รึเปล่าครับ

นิยาม $$L_{k}:G_{k}\rightarrow \prod_{i\in I}A_{i}$$ defined by
$L_{k}(a)={a_{i}}$ where $a_{i}= a$ if $ i=k$ and $a_{i}= e_{i}$ if $i\not= k$

$L_k : A_k\to\prod_{i\in I}A_i$ รึเปล่าครับ

[nooonuii]

โจทย์ข้อนี้ไม่ได้ใช้เทคนิคพิศดารอะไรเลยครับ เพียงแค่เข้าใจนิยามก็ทำได้แล้ว แต่กว่าจะเข้าใจนิยามได้นี่สิครับ ทำผมตาลายไปเลย
หลังจากจับต้นชนปลายได้แล้วก็ออกมาเป็นแบบนี้

Let $f\in \prod_{i\in I}^{\omega}G_i$. Then $f(i)=e_i$ for all but finitely many $i$. Then we can choose $i_1,...,i_n$ and $g_{i_1}\in G_{i_1},...,g_{i_n}\in G_{i_n}$ so that $$f(i) = \cases{e_i & , i\not\in \{i_1,...,i_n\} \cr g_{i} & , i\in\{i_1,...,i_n\}}.$$
Thus $f=L_{i_1}(g_{i_1})*\cdots *L_{i_n}(g_{i_n})$.
This shows i).

Fix $k\in I$. Let $f\in L_k(G_k)\cap <\cup_{i\in I-\{k\}}L_i(G_i)>$.
Then $f(i)=e_i$ for all $i\neq k$. Let $f=f_{i_1}*\cdots * f_{i_n}$ where $f_{i_j}\in L_{i_j}(G_{i_j})$. Note that for all $j=1,...,n$,$f_{i_j}(k)=e_k$ since $i_j\neq k$ and $f_{i_j}\in L_{i_j}(G_{i_j})$. Thus $$f(k)=f_{i_1}*\cdots * f_{i_n}(k)=e_k.$$
Therefore $f=(e_i)$.

จะทำโจทย์ข้อนี้ได้ต้องเข้าใจทฤษฎีเซตเป็นอย่างดีครับ เพราะเล่นกับเซตของฟังก์ชัน อ่านหนังสือเจอเรื่องนี้ทีไรผมมักจะเปิดผ่านเสียมากกว่าเพราะอ่านแล้วมึนไปหลายวัน ผมเองก็ไม่กล้าเช็คว่าที่เขียนมาข้างบนมีตกหล่นตรงไหนรึเปล่า ถ้าเจอที่ผิดตรงไหนบอกด้วยครับ จริงๆแล้วที่เราใช้กันบ่อยๆก็คือ finite direct product ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากนักว่า

direct product = weak direct product

ถ้า $I$ เป็นเซตจำกัด เรื่องพวกนี้ส่วนใหญ่เรียนไว้เพื่อเติมเต็มเนื้อหาในบทเรียนเท่านั้้น ไม่ค่อยได้เอาไปใช้ซักเท่าไหร่ยกเว้นคนที่สนใจทางด้าน Category Theory ครับ

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii ตอนแรกผมคิดอยู่ตั้งนานว่าจะ post ถามดีหรือเปล่ากลัวว่าจะไม่มีคนตอบให้
แต่แล้วก็คิดผิด ขอบคุณมากจริงๆนะครับที่อุตสาห์อ่านพร้อมยังแก้ไขสิ่งที่ผมพิมพ์ผิดอีกด้วย ซึ่งผมพิมพ์ผิดจริงๆครับ
เป็นไปตามที่พี่ nooonuii บอกทุกประการ เยี่ยมจริงๆครับ ซึ่งข้อนี้ผมพยายามพิสูจน์อยู่นาน
คงเป็นเพราะว่ายังไม่เข้าใจนิยามอย่างชัดเจน ความจริงไอเดียอยากได้เหมือนของพี่ แต่เขียนไม่เป็นครับ
ขอไปแกะก่อนถ้าสงสัยอะไรจะมาถามนะครับ
ปล.ผมได้แก้ไขข้อความแล้วนะครับ...

[nooonuii]

มันเป็น tedious question ครับ คิดได้แต่เขียนไม่ได้

[mercedesbenz]

In $S_{4}$, let $V_{4}=\{\epsilon ,(1~2)(3~4), (1~3)(2~4), (1~4)(2~3)\}$ where $\epsilon$
is the identity element of $V_{4}$. Prove that $V_{4}\triangleleft S_{4}.$
คือว่า ผมพยายามหาทฤษฎีบทที่จะมาพิสูจน์ครับแต่หาไม่เจอสักที ถ้าจะไล่หาโดยนิยามจริงๆคงต้องเสียเวลามากเลย
เพราะ $S_{4}$ มีสมาชิกตั้ง 24 ตัว ช่วยหน่อยนะครับ

[nooonuii]

จริงๆแล้วการพิสูจน์การเป็น normal subgroup เราสามารถพิสูจน์โดยใช้แค่ generator ของ group ก็พอครับ ลองไปค้นทฤษฎีที่เกี่ยวกับ $S_n$ ดูครับว่ามี generator เป็นอะไร

[konkoonJAi]

$H<(\mathbb{Z},+)\Leftrightarrow H=n\mathbb{Z}$ for some $n \in \mathbb{Z}$
สามารถพิสูจน์ได้แล้วค่ะ ว่า $n\mathbb{Z}<(\mathbb{Z},+)$ แต่ไม่รู้ว่า จะพิสูจน์ขาไปยังไงดี
$(\Rightarrow )$ ให้ $H<(\mathbb{Z},+)$ จะได้ว่า $H\subseteq n\mathbb{Z}$ แต่สับเซตอีกทางทำไม่ได้ค่ะ งงมั๊กๆๆ

[nooonuii]

$(\mathbb{Z},+)$ เป็น cyclic group ครับ มี generator คือ ..........

มีทฤษฎีบทที่กล่าวถึง subgroup ของ cyclic group ว่าอย่างไรบ้างครับ

อีกวิธีคือ ถ้า $H\neq \{0\}$ ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่อยู่ใน $H$ ($a$ exists by Well-ordering Principle) แล้วพิสูจน์ว่า $H=a\mathbb{Z}$ ครับ

[mercedesbenz]

\approx

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

จริงๆแล้วการพิสูจน์การเป็น normal subgroup เราสามารถพิสูจน์โดยใช้แค่ generator ของ group ก็พอครับ ลองไปค้นทฤษฎีที่เกี่ยวกับ $S_n$ ดูครับว่ามี generator เป็นอะไร

ผมลองหาดูแล้วครับ แต่หาไม่เจอเลยครับ การพิสูจน์ ว่าเป็น normal subgroup ทำไมถึงสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้แค่
generator ครับอันนี้ไม่เคยทราบมาก่อนเลยครับ

[nooonuii]

Let $G$ be a group and $H$ a subgroup of $G$. Suppose that $H=<a_1,...,a_n>$. Then $H$ is a normal subgroup of $G$ iff $ga_ig^{-1}\in H$ for all $g\in G$ and all $i=1,...,n$.
Proof :

$(\Rightarrow)$ Obvious.

$(\Leftarrow)$ Let $g\in G, h\in H $. Then $h=a_{i_1}^{r_1}\cdots a_{i_m}^{r_m}$ for some $r_1,...,r_m \in \mathbb{Z}$ and $m\in\mathbb{N}$.
Thus $ghg^{-1}=ga_{i_1}^{r_1}g^{-1}\cdot ga_{i_2}^{r_2}g^{-1}\cdots ga_{i_m}^{r_m}g^{-1}=(ga_{i_1}g^{-1})^{r_1}\cdots (ga_{i_m}g^{-1})^{r_m} \in H$.
Therefore, $H$ is a normal subgroup of $G$.

ขากลับยังจริงถ้าเราสมมติว่าข้อความเป็นจริงเฉพาะ generator ของ $G$ และ $H$ ครับ ลองไปฝึกเขียนดูครับ สำหรับ generator ของ $S_n$ ลองทำโจทย์สองข้อนี้ก่อนครับ

1. Show that $S_4$ is generated by $(1\,2\,3\,4)$ and $(1\,2\,4\,3)$.
2. Show that $S_n$ is generated by $(1\, 2)$ and $(1\, 2 \,\cdots\,n)$.

[mercedesbenz]

โอโห!! เยี่ยมยอดมากเลยครับ ทำให้งานหนักกลายเป็นงานเบาได้ด้วยทฤษฎีบท...
การแสดงข้อ 1 แสดงตรงๆเลยได้ไหมครับ จับมายกกำลังแล้วคูณกันในตาราง
ให้ได้ครบ 24 ตัว ส่วนข้อสองผมคิดว่าน่าจะใช้อุปนัย บน $n$ แต่ยังคิดไม่ออกว่าจะใช้ยังไงดี
ปล.สังสัยจังว่า ทำไม generator ของ $S_{4}$ ไม่เป็น $(1\,2)$ และ $(1\,2\,3\,4)$
หรือว่า subset ที่สามารถ generate มีได้หลาย subset ครับ

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Since $H$ is a subgroup of $<a>$, $H=<a^k>$ for some $k$. The following identity may help
$$ga^ng^{-1}=(gag^{-1})^n.$$

Interesting Problem : Is the following statement true?

If $K$ is a normal subgroup of $H$ and $H$ is a normal subgroup of $G$ then $K$ is a normal subgroup of $G$.

สำหรับ Interesting Problem นะครับผมไปหาตัวอย่างมาค้านได้แล้ว กว่าจะหาได้แทบกะอักเลือด
ตัวอย่างที่ 1
Let $G=D_{8}=<r,s|r^{4}=1,s^{2}=1,rs=sr^{-1}>.$Let $H=\{1,r^{2},s,sr^{2}\}$ and $K=\{1,s\}.$ Then since $[G:H]=2$,and $[H:K]=2$,both $K\triangleleft H$ and $H\triangleleft G.$
However , $rsr^{-1}=r^{2}s\in K$ and so $K$ is not normal subgroup of $G$.

อีกตัวอย่างหนึ่งนะครับ
In $S_{4}$,let $V_{4}=\{(1),(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$
We can show that $\{(1),(1\,2)(3\,4)\} \triangleleft V_{4} \triangleleft S_{4}$,
but $\{(1),(1\,2)(3\,4)\}$ is not a normal subgroup of $S_{4}$.

แต่ที่หามาได้ใช่ว่าจะเข้าใจถ่องแท้ คือว่า $D_{8}$ เนี่ยครับหน้าตาที่แท้จริงของมันเป็นอย่างไร
รู้เพียงแต่ว่า $D_{n}$ มี order 2n แต่ไม่ค่อยแน่ใจในหน้าตาของมันสักเท่าไหร่ ใครรู้ช่วยบอกทีนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

ี
ปล.สังสัยจังว่า ทำไม generator ของ $S_{4}$ ไม่เป็น $(1\,2)$ และ $(1\,2\,3\,4)$
หรือว่า subset ที่สามารถ generate มีได้หลาย subset ครับ

ข้อ 2 นี่เป็นจริงสำหรับทุก $n\geq 2$ generator ไม่ unique ครับ