subgroup & normal subgroup

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

แต่ที่หามาได้ใช่ว่าจะเข้าใจถ่องแท้ คือว่า $D_{8}$ เนี่ยครับหน้าตาที่แท้จริงของมันเป็นอย่างไร
รู้เพียงแต่ว่า $D_{n}$ มี order 2n แต่ไม่ค่อยแน่ใจในหน้าตาของมันสักเท่าไหร่ ใครรู้ช่วยบอกทีนะครับ

$D_{2n}$ เรียกว่า Dihedral group เป็น group ที่เกิดจากการพิจารณาสมมาตรของรูป $n$ เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ตัว generator ที่มีขนาด $n$ คือ การหมุนรูป $n$ เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าด้วยมุม $\dfrac{2\pi}{n}$ (rotation) ครับ ส่วนตัวที่มีขนาด $2$ น่าจะเป็นการพลิกรูปเทียบกับแกนสมมาตร(reflection)นะครับ สองตัวนี้ generate $D_{2n}$ ครับ

[putmusic]

ขอบคุณมากครับ ได้เข้าใจอะไรหลายๆอย่างเลยครับ

[konkoonJAi]

If $C_i$ is an infinite cyclic group in additive notation generated by $a_i$ for all $i \in I$, prove that $\sum_{i \in I}C_i$ is a free abelian group having $\{v_i | i \in I\}$ as a basis where for all $i \in I$,$v^{(i)}= \{x_j\}_{j \in I}$ ,where $$x_j=a_i ; i=j$$ $$x_j=o ; i \neq j$$
หมายเหตุ $\sum_{i \in I}C_i$ คือ external weak direct product

[nooonuii]

ไล่นิยามของ Weak direct product ก็น่าจะออกนะครับ
ถ้าให้ $x\in\sum_{i\in I}C_i$ จะได้ $x=\sum_{k=1}^n x_{i_k}$, $x_{i_k}\in C_{i_k}$
จากนั้นก็เขียน $x_{i_k}$ ในรูป generator ของ $C_{i_k}$, etc.

[konkoonJAi]

ขอบคุณสำหรับคำตอบข้างบนมาก ๆ ค่ะ
ขออีกข้อนะคะ
def 1.let $p$ be a prime. A group $G$ is said to be a $p-group$ if for all $a\in G$ ,$|a|=p^k $ for some $k \in \mathbb{N}\cup \{0\}$
2. $C(G)=\{g \in G\left|\,\right. gy=yg ~~\forall y \in G\}$

exercise If G is finite $p-group$, $N\triangleleft G$ and $N \not= \{e\}$. prove that $N \cap C(G)\not= \{e\}$

[konkoonJAi]

Theorem (ที่เกี่ยวข้องกับข้อข้างบน)
1.If $G$ is a $p-group$ and $N\triangleleft G$ , $G/N$ is a $p-group$
2.Let G be a finite $p-group$ and $|G|>1$. then $|C(G)|=p^k$ for some $k \in \mathbb{N}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ konkoonJAi

exercise If G is finite $p-group$, $N\triangleleft G$ and $N \not= \{e\}$. prove that $N \cap C(G)\not= \{e\}$

Hint : ลองดูวิธีพิสูจน์ class equation บน $G$ ครับ แล้วสังเกตว่า ทุก conjugacy class ใน $G$ ถ้าไม่เป็นสับเซตของ $N$ ก็จะต้องไม่มีส่วนร่วมกับ $N$ เลย เพราะว่า $N$ เป็น normal subgroup จากนั้นลองเขียน class equation ของ $N$ โดยใช้ conjugacy class ใน $G$ ครับ