ช่วยพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติsin3A=sinA(2cos2A+1)

[kaimath_2611]

ช่วยพิสูจน์ให้หน่อยน่ะค่ะ sin3A=sinA(2cos2A+1)

[gnopy]

sin(3A)=sin(A+2A)=sinAcos2A+cosAsin2A...........(1)
จาก sin(2A)=2sinAcosA แทนค่าลงไปใน(1)
sin(3A)=sinAcos2A+2cosAcosAsinA จัดการดึง sinA ออกจะได้
sin(3A)=sinA(cos2A+2cos$^2$A)...............(3)
จาก cos2A = 2cos$^2$A-1 ดังนั้นจะได้ 2cos$^2$A=cos2A+1
แทน2cos$^2$A=cos2A+1 ลงไปใน(3)
ก็จะได้
sin3A=sinA(2cos2A+1) ตามต้องการ

[JanFS]

จากเอกลักษณ์มุมสามเท่าจะได้ว่า
$\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^{3}{A}$
$=\sin{A}\cdot\left(1+2\cdot\left(1-2\sin^{2}{A}\right)\right)$
$=\sin{A}\cdot\left(1+2\cdot\cos{2A}\right)$ ตามต้องการ