โจทย์แบบเรียน สอวน.

[[SIL]]

พอดีผมซื้อหนังสือมาอ่ะครับลองทำดูกะว่าจะเริ่มพัฒนาทักษะด้านคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง วันนี้เจอปัญหา(สำหรับพวกพี่คงหมูมาก) 3 ข้อให้พี่ๆช่วยทำครับ (A คือ คำถาม B คือสิ่งที่โจทย์ต้องการให้พิสูจน์หรือหาคำตอบครับ) (ในหนังสือไม่เห็นมีเฉลยเลย YY)

หาได้แค่ f(n)= n(n+1)

หาได้ 2001/2002 ถูกป่ะครับ

มึนครับ

[nooonuii]

$f(x)=\dfrac{a^x}{a^x-\sqrt{a}}$

ใช้ตัวช่วยสมมาตรครับ

ลองคำนวณดูว่า

ถ้า $x+y=1$ แล้ว $f(x)+f(y)=??$

จากนั้นใช้วิธีจับคู่ครับ

[[SIL]]

ขอบคุณพี่ nooonuii มากๆครับ

อนุกรมแบบนี้อ่ะครับพี่ หาไง อันบนไม่ได้ขออันล่างก็ได้ครับ นั่งคิดมา 3-4 วันแล้ว ติดที่เดิมเลยอ่ะ คิดไม่ออกซะทีพี่ๆช่วยหน่อยนะครับ

[[SIL]]

คำตอบคือ 1000 รึปล่าวครับ ผมลองจับคู่แรกกะคู่สุดท้ายแล้วขยับๆเข้ามาจะได้ 1000คู่คู่ละ 1 (ความจริงทำแค่คู่แรกกะคู่สุดท้ายคิดว่าน่าจะชะตาเดียวกันแน่ๆ)

[robot123]

ไม่ใช่พี่nooonuiiทำได้ไหมครับ
อันล่างได้เป็นอันนี้ครับ
$$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)$$

ส่วนอันบนน่าจะใช้วิธีคิดแบบเดียวกัน(รึเปล่า?)

[หยินหยาง]

อันบนแบบนี้ครับ
$(k+d)^2+(k+2d)^2+(k+3d)^2+....+(k+nd)^2$
$=k^2+2kd+d^2+k^2+2*2kd+2^2d^2+k^2+2*3kd+3^2d^2+...+k^2+2*nkd+n^2d^2$
$=nk^2+2kd(1+2+3+...+n)+d^2(1^2+2^2+3^2+...n^2)$
$=nk^2+2kd(\frac{n}{2} (n+1))+d^2(\frac{n}{6}(2n+1)(n+1))$

[[SIL]]

ขอบคุณพี่ๆมากๆเลยครับ ไม่ยักกะรู้มาก่อนว่าอนุกรมกำลังสองมันหาไง ไม่รู้จะใช้อะไรมาหา TT
แล้วๆ มีค่า = 0 ตลอดหรือปล่าวครับ

[robot123]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

มีค่า = 0 ตลอดหรือปล่าวครับ

ไม่จำเป็นครับ อาจจะมีค่าเป็นอย่างอื่นก็ได้ครับ

[[SIL]]

(A คือคำถาม)(B คือให้พิสูจน์)
เหลือข้อนี้อ่ะครับพี่ๆ ผมลองใส่ทั้งกรณี n เป็นคี่ และ n เป็นคู่แล้ว มันไม่ได้ซะทีอ่า YY

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

(A คือคำถาม)(B คือให้พิสูจน์)
เหลือข้อนี้อ่ะครับพี่ๆ ผมลองใส่ทั้งกรณี n เป็นคี่ และ n เป็นคู่แล้ว มันไม่ได้ซะทีอ่า YY

เอาโจทย์มาจากไหนละครับ โจทย์ไม่สมบูรณ์หรือเปล่าเลยทำให้ทำไม่ได้ ลองดูนะครับถ้าโจทย์เป็นแบบนี้

Let $f(n)$ be the sum of the first n term of the sequence
$0,1,1,2,2,3,3,4,4,...,r,r,r+1,r+1,...$
(a) Deduce a formula for $f(n)$
(b) Prove that $f(s+t) - f(s-t) = st$ where s and t are positive integers and $s > t $

[[SIL]]

อ่อขอโทดครับๆ แบบที่พี่หยินหยางบอกอ่ะครับ ข้อ 5.1 ถาม (a) ข้อ 5.2 ถาม(b) ผมก็นึกว่า (a) ไม่จำเป็นเลยไม่ได้นำมาครับ ขอโทษทีครับ โจทย์เต็มๆ เป็นแบบที่พี่บอกแหละครับมันอยู่ในหนังสือแบบเรียน สอวน.

[หยินหยาง]

โจทย์ข้อนี้เอามาจากหนังสือ Five hundred Mathematical Challenges ตอนแรกผมเข้าใจว่า คุณ [SIL] ทำไม่ได้เพราะตีโจทย์ผิด คือไม่ได้บอกว่า $f(n)$ เกิดจากการบวก n ตัวแรกของลำดับที่ว่า (ผมไม่ได้หมายความว่าขาด คำถามข้อ a ครับ)
แนวคิด ก็อย่างที่ คุณ [SIL] ได้ทำครับ คือ แบ่งเป็น 2 กรณีคือ เมื่อ n เป็นคู่ กับ n เป็นคี่ ถ้าทำถูกวิธีจะได้ว่า

คำตอบ

$f(n) = \frac{n^2}{4}$ if n is even
$f(n) = \frac{n^2-1}{4}$ if n is odd

[[SIL]]

ขอบคุณพี่หยินหยางนะครับ พอดีเริ่มสนใจทางด้านคณิตศาสตร์ เลยไม่ค่อยชำนาญเท่าไหร่

[[SIL]]

ข้อแรก ทำได้คำตอบเป็นรากเชิงซ้อนเฉียดหมื่น
ข้อสองทำแบบนี้ได้รึปล่าวครับ ^^

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ข้อแรก ทำได้คำตอบเป็นรากเชิงซ้อนเฉียดหมื่น
ข้อสองทำแบบนี้ได้รึปล่าวครับ ^^

ข้อแรก ให้ $A=30x+36$, $B=30x-55$
$(A^{\frac{1}{3}}- B^{\frac{1}{3}})^3 =1$ แล้วจะทำให้ได้ว่า $AB = 27000$
แก้สมการจะได้ว่า $x= \frac{57\pm 1023}{180} $
ข้อสองทำได้ครับ แต่ไม่ถูก ลองดูนี่ครับ $(\sqrt{a} +\sqrt{b})^2 \not= a+b$