โจทย์แบบเรียน สอวน.

[[SIL]]

พอดีข้อแรกผมไปใช้ $ a+b+c=0 แล้ว a^3 + b^3 + c^3 = 3abc $ เลยได้เฉกเช่นฉะนี้ เดี๋ยวคืนนี้ลุยให้ได้เยอะๆ เพราะผมเชื่อว่า พี่ๆทำให้ผมหายข้องใจได้อยู่แล้ว เนาะ ^^

[[SIL]]

สังเกตเห็นอะไรมากมายแต่แก้ไม่หลุดซะทีครับ ฝากข้อนึงก่อนลุยภาคค่ำ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

สังเกตเห็นอะไรมากมายแต่แก้ไม่หลุดซะทีครับ ฝากข้อนึงก่อนลุยภาคค่ำ

ดูที่นี่ครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=2902

[[SIL]]

ขอบคุณมากครับได้ประสบการณ์ดีจริงๆ

[[SIL]]

ช่วยหน่อยค้าบ อันบนหาค่าอันล่างพิสูจน์

[nooonuii]

ข้อแรกใช้อันนี้

$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=(a-b)(b-c)(c-a)$

[หยินหยาง]

ข้างล่างพิสูจน์โดย ให้ $A=x+y+z$
ดังนั้น $L.H.S.$ จะกลายเป็น $xy(A-z)+yz(A-x)+xz(A-y)+2xyz =A(xy+yz+xz)-xyz$
ต่อจากนั้นพิจารณา $R.H.S.$ จะได้ว่า $(A-x)(A-y)(A-z) =(A^2-(x+y)A+xy)(A-z)$
$=A^3-A^2(x+y+z)+A(xy)+A(x+y)z-xyz = A(xy+yz+xz)-xyz$
$\therefore L.H.S. = R.H.S.$

[[SIL]]

ผมไม่รู้ว่า L.H.S. และ R.H.S. คืออะไร ถ้าจะให้เดานะจะแปลว่า ฝั่งขวาเท่ากับฝั่งซ้ายหรือปล่าวครับ อีกอย่างผมบังเอิญโรคจิตไม่ชอบคิดฝั่งซ้าย แต่ชอบทำฝั่งซ้ายให้เหมือนฝั่งขวาอ่ะครับ กว่าจะได้เนี่ยแทบตาย TT

วันนี้ขอฝากอีกซักข้อนึงครับ พิสูจน์อีกเช่นเคย

[owlpenguin]

อันที่ 2 เท็จครับ ให้ $a=c=e=1,b=d=f=2$ จะเป็นเท็จทันทีครับ

ส่วนอันแรก ก็...
ให้ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k\rightarrow a=kb, c=kd, e=kf$
จะได้ว่า $\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{k(b+d+f)}{b+d+f}=k$
$\therefore\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$ ตามต้องการครับ

[[SIL]]

ขอบคุณครับ คุณowlpenguin ครับ ผมก็นึกว่าจะบวก 1 เข้า 3 ข้าง (นึกว่าทำเหมือน 2 ตัว 55+ TT )
แล้วข้อ 2 มันมีกรณีสมมูลกับจริงมั้ยครับ พอดีที่ผมทำมันให้กรณีที่ มีบางตัวอ่ะครับไม่ใช่ทุกตัว เดี๋ยวจะลองเอาแนวคิดข้อ 1 ลองทำดูนะครับ

[หยินหยาง]

อันที่ 2 จะจริงก็ต่อเมื่อ $a=b=c=d=e=f$ และไม่เท่ากับ 0 ครับ

[gon]

รูปถ้าขนาดไม่เกิน 50 KB ถ้าเป็นไปได้ควรแนบมาในเว็บเลยครับ ไม่ควรแปะที่เว็บอื่นแล้วเอาลิงก์มาลง เพราะอนาคตรูปที่อยู่ที่อื่นจะหายไปตามกาลเวลา พอมีคนมาดูอีกที ก็คงไม่รู้เรื่องแล้วครับว่าคุยเรื่องอะไรกัน เพื่อประโยชน์ที่ถาวรจึงควรแปะรูปที่เว็บเราเลยนะครับ

จริง ๆ แล้วโจทย์สั้น ๆ พิมพ์เอาก็น่าจะเร็วกว่าครับ ควรหัดใช้ Latex ไม่ถึง 30 นาที ก็เป็นแล้วครับ ง่ายกว่าคิดเลขเยอะ

[[SIL]]

ภ้าพิมพ์เศษส่วนเป็นก็โอเคอ่ะครับนี่พิมพ์ไม่ค่อยคล่องอ่ะ เดี๋ยวต่อไปพยายามพิมพ์ latex ก็ได้ครับ เร็วดี

[[SIL]]

ข้อแรกคิดมานานแล้วอ่ะครับไม่ออกเลย ข้อ 2 ยิ่งเริ่มต้นไม่เป็นอ่ะครับ ช่วยทีนะครับ 2 ข้อๆ
พิสูจน์ 1. $\frac{(a+b-c)(a^2+b^2+c^2+bc+ca-ab)+c(c^2-3abc)}{a^2-ab+b^2}=a+b$
พิสูจน์ 2. $x^2y^2z^2-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx-1=(xz-1)(yz-1)(xy-1)$

[nooonuii]

ข้อแรกคิดมานานแล้วอ่ะครับไม่ออกเลย ข้อ 2 ยิ่งเริ่มต้นไม่เป็นอ่ะครับ ช่วยทีนะครับ 2 ข้อๆ
พิสูจน์ 1. $\frac{(a+b-c)(a^2+b^2+c^2+bc+ca-ab)+c(c^2-3abc)}{a^2-ab+b^2}=a+b$
พิสูจน์ 2. $x^2y^2z^2-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx-1=(xz-1)(yz-1)(xy-1)$

1. โจทย์ผิดครับ ต้องเป็นอย่างนี้

$$\frac{(a+b-c)(a^2+b^2+c^2+bc+ca-ab)+c(c^2-3ab)}{a^2-ab+b^2}=a+b$$

ซึ่งทำได้โดยใช้เอกลักษณ์นี้

$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

มอง $x,y,z$ ให้ออก ทีเดียวจบครับ

2. ลองแทน $a=xy,b=yz,c=zx$ แล้วมองใหม่ครับ คิดถึงเอกลักษณ์อะไรบ้างรึเปล่า ?