โจทย์แบบเรียน สอวน.

[[SIL]]

ขอบคุณครับพี่ ช่วยผมได้มากๆเลย
หนังสือผมอย่างมากเคยผิดก็แค่วงเล็บ(มันมองออกอย่างชัดเจนมิน่าล่ะแก้มาตั้งแต่วันศุกร์แล้วครับ TT) มันล่อพิมพ์ตัวแปรผิดนี่โอ้โห โหดร้ายมาก

[[SIL]]

กรุณาช่วยผมอีกข้อนึงนะครับ (มีเรื่อยๆแน่นอนครับ)
$ (a^2-B^2+c^2-d^2)^2 + 2(ab-bc+dc+ad)^2 = (a^2+B^2+c^2+d^2)^2 - 2(ab+bc+dc-ad)^2 $
มันะจบแบบว่า
$ab-ad=cb+cd$ ทุกครั้งอ่ะครับ ไม่ได้บ้าพลังนั่งกระจายนะครับเหมือนมันจะจบสวยๆอ่ะเป็นแบบนี้ทุกรอบเลย

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

กรุณาช่วยผมอีกข้อนึงนะครับ (มีเรื่อยๆแน่นอนครับ)
$ (a^2-B^2+c^2-d^2)^2 + 2(ab-bc+dc+ad)^2 = (a^2+B^2+c^2+d^2)^2 - 2(ab+bc+dc-ad)^2 $
มันะจบแบบว่า
$ab-ad=cb+cd$ ทุกครั้งอ่ะครับ ไม่ได้บ้าพลังนั่งกระจายนะครับเหมือนมันจะจบสวยๆอ่ะเป็นแบบนี้ทุกรอบเลย

โจทย์ให้ทำอะไรครับ

[[SIL]]

พิสูจน์เอกลักษณ์เหมือนเดิมครับ

[nooonuii]

$ (a^2-b^2+c^2-d^2)^2 + 2(ab-bc+dc+ad)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 - 2(ab+bc+dc-ad)^2 $

พิสูจน์อันนี้แทนครับ

$2(ab-bc+cd+da)^2+2(ab+bc+cd-da)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 - (a^2-b^2+c^2-d^2)^2$

ข้างซ้ายจับคู่แล้วใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์กระจายออกมา

$(ab-bc+cd+da)^2=[(ab+cd)+(da-bc)]^2=???$

$(ab+bc+cd-da)^2=[(ab+cd)+(bc-da)]^2=???$

ข้างขวาใช้สูตรผลต่างกำลังสองแล้วค่อยกระจายออกมา

$(a^2+b^2+c^2+d^2)^2 - (a^2-b^2+c^2-d^2)^2=???$

ที่เหลือไม่ยากแล้วครับ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อแรกใช้อันนี้

$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=(a-b)(b-c)(c-a)$

เท่าที่ลองใช้ ครน.ส่วนแล้วมันดันเป็นงี้ครับ

$\frac{bc(b-c)-ac(a-c)-ab(a-b)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$

$\frac{bc(b-c)+ac(c-a)+ab(b-a)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$

มันใช้เอกลักษณ์ที่พี่ให้มาไม่ได้อ่ะครับ ทำไงดี รึว่าผมคิดสั้นไป

[[SIL]]

ปิดท้ายแบบเรียนบทพิสูจน์เอกลักษณ์ ดีกว่าครับจะสอบแล้วไม่มีเวลานั่งคิดนานพี่ๆช่วยที่นะครับ (หมดปัญญา หนังสือไม่มีเฉลยTT)

$1. (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(bx-ay)^2+(cy-bz)^2+(az-cx)^2$

$2. x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3-x^4yz-xy^4z+xyz^4=(xz-y^2)(yz-x^2)(xy-z^2)$

$3.(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+t^2)=(ax-by-cz-dt)^2+(ax+ay-dz+ct)^2+(cx+dy+az-bt)^2+(dx-cy+bz+at)^2$

[[SIL]]

แบบให้เงื่อนไข
1. ถ้า $x=b+c-a ,y=c+a-b ,z=a+c-c$ จงแสดงว่า $x^3+y^3+z^3-3xyz=3(a^3+b^3+c^3-3abc)$
2. จงพิสูจน์ว่าถ้า $n \in I^+ $ แล้ว
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$
3. จงพิสูจน์ว่าถ้า $n \in I^+ และ a_1+a_2+...+a_n=\frac{nS}{2} แล้ว
(S-a_1)^2+(S-a_2)^2+...+(S-a_n)^2 = a^2_1+a^2_2+...+a^2_n$

4. สำหรับจำนวนเต็มบวก n กำหนดให้ $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} จงพิสูจน์ว่า
nS_n = n+(\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1})$
รบกวนพี่ๆด้วยนะครับ มันมีทั้งหมด 30 ข้อง่ะ ทำไม่ไหว(ความพยายามเล็กน้อย มันสมองไม่มี TT)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

เท่าที่ลองใช้ ครน.ส่วนแล้วมันดันเป็นงี้ครับ

$\frac{bc(b-c)-ac(a-c)-ab(a-b)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$

$\frac{bc(b-c)+ac(c-a)+ab(b-a)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$

มันใช้เอกลักษณ์ที่พี่ให้มาไม่ได้อ่ะครับ ทำไงดี รึว่าผมคิดสั้นไป

ไม่ได้คิดผิดครับ แต่ลองเช็คโจทย์อีกทีนะครับว่าเหมือนที่พิมพ์มารึเปล่า

ถ้าถูกแล้วก็คงต้องลุยแหลกแล้วหาตัวร่วมให้เจอครับ

ลองให้น้องเปิ้ลคิดให้ได้แบบนี้ครับ

$\dfrac{a^2-ab-bc-ca}{abc(a-b)(a-c)}$

[[SIL]]

อ่าๆ ขอบคุณพี่ nooonuii มากครับ ได้คำตอบละ $\frac{1}{abc}$ ครับ
มีข้อใหม่มาฝาก รู้สึกปัญหาเยอะ
$\frac{b^2-a^2-c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{a^2-b^2-c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2-b^2-a^2}{(a-b)(a-c)}$ มีค่าเท่ากับเท่าไหร่

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

อ่าๆ ขอบคุณพี่ nooonuii มากครับ ได้คำตอบละ $\frac{1}{abc}$ ครับ
มีข้อใหม่มาฝาก รู้สึกปัญหาเยอะ
$\frac{b^2-a^2-c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{a^2-b^2-c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2-b^2-a^2}{(a-b)(a-c)}$ มีค่าเท่ากับเท่าไหร่

ลองเช็คโจทย์อีกครั้งครับ ทำไมตัวส่วนเหมือนกัน

[[SIL]]

ไม่ได้พิมพ์ผิดครับพี่ตามหนังสือเป๊ะๆ
ส่วนพวกด้านล่างกลัวมันหายอ่ะครับ ยังไงก็ตอดคนละข้อสองข้อละกัน ช่วยผมหน่อยเถอะ YY

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ปิดท้ายแบบเรียนบทพิสูจน์เอกลักษณ์ ดีกว่าครับจะสอบแล้วไม่มีเวลานั่งคิดนานพี่ๆช่วยที่นะครับ (หมดปัญญา หนังสือไม่มีเฉลยTT)

$1. (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(bx-ay)^2+(cy-bz)^2+(az-cx)^2$

$2. x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3-x^4yz-xy^4z+xyz^4=(xz-y^2)(yz-x^2)(xy-z^2)$

$3.(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+t^2)=(ax-by-cz-dt)^2+(ax+ay-dz+ct)^2+(cx+dy+az-bt)^2+(dx-cy+bz+at)^2$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

แบบให้เงื่อนไข
1. ถ้า $x=b+c-a ,y=c+a-b ,z=a+c-c$ จงแสดงว่า $x^3+y^3+z^3-3xyz=3(a^3+b^3+c^3-3abc)$
2. จงพิสูจน์ว่าถ้า $n \in I^+ $ แล้ว
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$
3. จงพิสูจน์ว่าถ้า $n \in I^+ และ a_1+a_2+...+a_n=\frac{nS}{2} แล้ว
(S-a_1)^2+(S-a_2)^2+...+(S-a_n)^2 = a^2_1+a^2_2+...+a^2_n$

4. สำหรับจำนวนเต็มบวก n กำหนดให้ $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} จงพิสูจน์ว่า
nS_n = n+(\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1})$
รบกวนพี่ๆด้วยนะครับ มันมีทั้งหมด 30 ข้อง่ะ ทำไม่ไหว(ความพยายามเล็กน้อย มันสมองไม่มี TT)

[nooonuii]

ถ้าพิมพ์ไม่ผิดก็ลุยแหลกเลยครับ
โจทย์พวกนี้ใช้เทคนิคการแทนค่าตัวแปรกับเอกลักษณ์ที่หนังสือให้มาแล้ว
ส่วนเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับจำนวนนับก็ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

แบบให้เงื่อนไข
1. ถ้า $x=b+c-a ,y=c+a-b ,$ z=a+c-c จงแสดงว่า $x^3+y^3+z^3-3xyz=3(a^3+b^3+c^3-3abc)$

ผมว่าตรงที่ผมทำเครื่องหมายสีแดงน่าจะเป็น $z=a+b-c$ แต่อย่างไรก็ตามถ้าเอามาจากหนังสือ สอวน. ผมคิดว่าในหนังสือที่ให้พิสูจน์ว่า
$x^3+y^3+z^3-3xyz=3(a^3+b^3+c^3-3abc)$ ก็ไม่น่าจะถูก ที่ถูกคล้ายๆว่าน่าจะเป็น

$x^3+y^3+z^3-3xyz=$4$(a^3+b^3+c^3-3abc)$

ป.ล. เคยทำนานแล้ว ลองให้พวกเทพทั้งหลายช่วยตรวจสอบดูก็แล้วกันครับ

[[SIL]]

อ้อขอบคุณคุณหยินหยางมากๆครับ หายไปนานเลยครับตามปกติคุณจะเป็นคนสอนผมประจำกระทู้นี้นี่นา ส่วนตรงสีฟ้าเปลี่ยนเป็นเลข 4 ผมจะลองทำดู(หลังสแบเสร็จนะครับ)