โจทย์แบบเรียน สอวน.

[Slurpee]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

1. ถ้า $x=b+c-a ,y=c+a-b ,z=a+c-b$ จงแสดงว่า $x^3+y^3+z^3-3xyz=3(a^3+b^3+c^3-3abc)$
2. จงพิสูจน์ว่าถ้า $n \in I^+ $ แล้ว
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$
3. จงพิสูจน์ว่าถ้า $n \in I^+ และ a_1+a_2+...+a_n=\frac{nS}{2} แล้ว
(S-a_1)^2+(S-a_2)^2+...+(S-a_n)^2 = a^2_1+a^2_2+...+a^2_n$

4. สำหรับจำนวนเต็มบวก n กำหนดให้ $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} จงพิสูจน์ว่า
nS_n = n+(\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1})$

ขอขุดหน่อยนะครับพอดีกำลังฝึกทำครับ ข้อ 1 กับ 2 ครับคิดไม่ออกครับ

[Mwit22#]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slurpee

ขอขุดหน่อยนะครับพอดีกำลังฝึกทำครับ ข้อ 1 กับ 2 ครับคิดไม่ออกครับ

ข้อสองนะครับ 1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{n}$ = $\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+...+$\frac{1}{2n}$

พิสูจน์ ให้ n เป็นสมาชิกของเซตจำนวนเต็มบวก
จะพิสูจน์ว่า 1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{n}$ = $\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+...+$\frac{1}{2n}$
L.S. 1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{n}$
= (1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$)-2($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$...+$\frac{1}{2n-2}$+$\frac{1}{2n}$)
=(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$+...+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$)-(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$)
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+...+$\frac{1}{2n}$

ดังนั้น1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{n}$ = $\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+...+$\frac{1}{2n}$ สำหรับทุกๆ n ที่เป็นสมาชิกของเซตจำนวนเต็มบวก Q.E.D.


ปล.ผิดพลาดยังไงโปรดชี้แนะด้วยครับ
ปล2.โปรดชี้แนะการเขียนพิสูจน์ด้วยครับ

ใช้ MI ก็น่าจะได้นะครับ

[Slurpee]

รบกวนผู้รู้ตรวจให้ทีครับ
ข้อ 3 ครับ
$\frac{n^2s^2}{4}=({a^2_1}+{a^2_2}+{a^2_3}+...+{a^2_n})+(a_1+a_2+a_3+...+a^n)(a_1+a_2+a_3+...+a^n)-(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n)$
$n^2s^2=4({a^2_1}+{a^2_2}+{a^2_3}+...+{a^2_n})+4(a_1+a_2+a_3+...+a^n)(a_1+a_2+a_3+...+a^n)-3(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n)-(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n)$
$n^2s^2+(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n)=({a^2_1}+{a^2_2}+{a^2_3}+...+{a^2_n})+\frac{4ns}{2}(a_1+a_2+a_3+...+a^n)$
$n^2s^2+(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n)=({a^2_1}+{a^2_2}+{a^2_3}+...+{a^2_n})+2s(a_1+a_2+a_3+...+a^n)+2(n-1)s(a_1+a_2+a_3+...+a^n)$
$n^2s^2+(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n)=({a^2_1}+{a^2_2}+{a^2_3}+...+{a^2_n})+2s(a_1+a_2+a_3+...+a^n)+2(n-1)s\frac{ns}{2}$
$n^2s^2+(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n)=({a^2_1}+{a^2_2}+{a^2_3}+...+{a^2_n})+2s(a_1+a_2+a_3+...+a^n)+{n^2s^2-ns^2}$
$ns^2-2s(a_1+a_2+a_3+...+a^n)+(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n)=({a^2_1}+{a^2_2}+{a^2_3}+...+{a^2_n})$
${(s-a_1)}^2+{(s-a_2)}^2+{(s-a_1)}^2+...+{(s-a_n)}^2=({a^2_1}+{a^2_2}+{a^2_3}+...+{a^2_n})$

[Siren-Of-Step]

ใช้ Math induction ก็ได้ครับ ข้อ 3
ข้อ 4 คูณแล้วจัดรูปก็จบ ครับ

[nooonuii]

ข้อหนึ่งต้องเปลี่ยนโจทย์ตามที่คุณหยินหยางบอกก่อนครับ ไม่งั้นคิดยังไงก็ไม่ออก

1. ถ้า $x=b+c-a ,y=c+a-b ,z=a+b-c$ จงแสดงว่า $x^3+y^3+z^3-3xyz=4(a^3+b^3+c^3-3abc)$

เริ่มจาก

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\Big(\dfrac{a+b+c}{2}\Big)\Big[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\Big]$

สังเกตว่า

$x+y+z=a+b+c$

$x-y=2(b-a)$

$y-z=2(c-b)$

$z-x=2(a-c)$

ดังนั้น

$x^3+y^3+z^3-3xyz=2\Big(a+b+c\Big)\Big[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\Big]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4(a^3+b^3+c^3-3abc)$

[Slurpee]

ขอบคุณครับ อีกข้อก่อนนอนครับ
จงหาผลบวก $\sum_{k = 1}^{n}\frac{4k}{4k^4+1} $

[Slurpee]

ผมขอต่อไปที่แบบฝึกหัด 1.5 นะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slurpee

ขอบคุณครับ อีกข้อก่อนนอนครับ
จงหาผลบวก $\sum_{k = 1}^{n}\frac{4k}{4k^4+1} $

จากเอกลักษณ์ $x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$

$k^4+\dfrac{1}{4}=k^4+\dfrac{4}{2^4}$

$~~~~~~~~=(k^2-k+\dfrac{1}{2})(k^2+k+\dfrac{1}{2})$

$\dfrac{4k}{4k^4+1}=\dfrac{k}{k^4+\frac{1}{4}}$

$~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{(k^2+k+\frac{1}{2})-(k^2-k+\frac{1}{2})}{(k^2-k+\frac{1}{2})(k^2+k+\frac{1}{2})}\Big)$

$~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{k^2-k+\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{k^2+k+\frac{1}{2}}\Big)$

ให้ $a_n=\dfrac{1}{n^2-n+\frac{1}{2}}$

จะได้ $a_{n+1}=\dfrac{1}{n^2+n+\frac{1}{2}}$

ดังนั้น

$\dfrac{4k}{4k^4+1}=\dfrac{1}{2}(a_k-a_{k+1})$

จึงได้ว่าผลบวกนี้เป็น telescopic sum

[Slurpee]

จากแบบฝึกหัด 1.5
1.1 ข้อนี้คือ กำลังสองสมบูรณ์ ให้เป็น$n^2$ จะมี$n^2,n,1$เป็นตัวหารเสมอ ใช่มั้ยครับ
1.2 ข้อนี้ต้องใช้ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดไปยังจุดใดๆบนแกน Y ที่ทำให้ระยะห่างระหว่างจุดที่กับหนดไปยังจุดที่อยู่บนแกน Y มีความยาวเท่ากันรึเปล่าครับ
ท่านผู้รู้เขียนพิสูจน์ให้หน่อยครับคือผมยังไม่คล่องเลยครับ

2.2 นำสมการทั้งหมดบวกกันแล้วค่อยนำไปลบกับสมการที่เหลือทีละสมการครับ

[Slurpee]

ข้อนี้ทำยังไงครับ ขอแนวหน่อยครับ ผมคิดไม่ออกแล้วครับ

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ จงคำนวนค่า(ในเทอม $n$)
$(4-\frac{2}{1})(4-\frac{2}{2})(4-\frac{2}{3})\cdot \cdot \cdot (4-\frac{2}{n})$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slurpee

ข้อนี้ทำยังไงครับ ขอแนวหน่อยครับ ผมคิดไม่ออกแล้วครับ

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ จงคำนวนค่า(ในเทอม $n$)
$(4-\frac{2}{1})(4-\frac{2}{2})(4-\frac{2}{3})\cdot \cdot \cdot (4-\frac{2}{n})$

ลองเขียนแต่ละเทอมให้อยู่ในรูปเศษส่วน

ทำให้ได้แบบนี้

$\dfrac{2^n[1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)]}{n!}$

$\dfrac{2^nn![1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)]}{n!n!}$