พีชคณิตหลุดโลก ..

[R-Tummykung de Lamar]

คือมีโจทย์ มาครับ(ไม่ได้คิดเอง) ค่อนข้างน่าสนใจ จึงอยากให้ทุกคนลองคิดดูครับ
1. ถ้า 5x²-2xy+2y²-2x-2y+1=0
แล้ว 10x-2y มีค่าเท่าใด(ThMO.1'43)

2.ถ้า xyz=1 และ x,y,z > 0 แปรค่าได้
จงหาจำนวนจริงที่มากที่สุด ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ
\[x=\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}} \] (ThMO.1'41)

3.ถ้า x= ึ2-1 แล้ว 1+6x+3x²+x⁶-2x⁷-2x⁸+2x⁹+x¹⁰ มีค่าเท่าใด (ThMO.1'40)

4.กำหนดให้ p² = 1000002ท1000004ท1000008ท1000010 + n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก ค่า n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ p เป็นจำนวนเต็มบวกเป็นเท่าใด (ThMO.1'38)

5.จงหาจำนวนจริง x ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ\[x=\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}\] (1^stTMO'47)

6.ถ้า aณ 1 และ xฮ R จงหาค่า x ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ \[\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x \] (ThMO.1'47)

7.จงหาสมการกำลังสองที่มีราก เป็นกำลังสองของรากของสมการ 4x²+3x-2=0 (ThMO.1'41)

เดี๋ยวพอคิดได้ครบแล้ว อาจจะมีภาค 2 ครับ

[aaaa]

เฉลยข้อ 2
จาก \(xyz=1\) และ อสมการ AM-GM ได้ว่า
\[
z^2+xy\geq2\sqrt{z^2xy}=2\sqrt{z}
\]ทำนองเดียวกันได้ \(x^2+yz\geq2\sqrt{x},\,\,y^2+zx\geq2\sqrt{y}\) ดังนั้นตอบ 2

[aaaa]

เฉลยข้อ 3
ได้ว่า \(x^2+2x-1=0\) ดังนั้น
\[
3x^2+6x=3(x^2+2x-1)+3=3,\,\, x^{10}+2x^9-x^8=x^8(x^2+2x-1)=0,\,\,-x^8-2x^7+x^6=-x^6(x^2+2x-1)=0
\]
ดังนั้นตอบ 3

[aaaa]

เฉลยข้อ 4
ให้ \(x=10^6\) ดังนั้น
\[
p^2=[(x+2)(x+10)][(x+4)(x+8)]+n=(x^2+12x+20)(x^2+12x+32)+n=(y+26)^2+n-36
\]
โดย \(y=x^2+12x\) ดังนั้น \(n>0\) ที่น้อยสุดที่ทำให้ \(p\) เป็นจำนวนเต็มคือ 36

[aaaa]

เฉลยข้อ 5
ให้
\[
y=\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}
\]
ดังนั้น
\[
xy=x-1\Longrightarrow y=1-\frac{1}{x}
\]
ดังนั้น
\[
x+1-\frac{1}{x}=2\sqrt{x-\frac{1}{x}}
\]
ให้ \(z=x-1/x\) ดังนั้น \(z+1=2\sqrt{z}\) นั่นคือ \(z=1\) แก้สมการได้
\[
x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}
\]

[R-Tummykung de Lamar]

โห คุณ aaaa คิด 4 ข้อ ถูกหมดเลยครับ (เร็วด้วย-- โจทย์แค่นี้ ผมคิด ค่อน ชั่วโมงเลยครับ)

[M@gpie]

ช่วงนี้ว่างละคับ ขอแจมด้วยคน
7. จงหาสมการกำลังสองที่มีราก เป็นกำลังสองของรากของสมการ \(4x^{2}+3x-2=0\)(ThMO.1'41)
ถ้าหาคำตอบออกมาตรงๆคงเหนื่อยน่าดูคับเพราะเป็นจำนวนอตรรกยะ
ให้ a และ b เป็นรากของสมการ \(
4x^{2}+3x-2=0 \)
ซึ่งจะได้ว่า
\(a+b = -\frac{3}{4} และ ab = -\frac{1}{2}\)
\(
4a^{2}+3a-2=0 .....(1)\)
\(
4b^{2}+3b-2=0 .....(2)\)
จับสองสมการบวกกันจะได้
\(4(a^{2}+b^{2}) +3(a+b) -4 =0 \)
แทนค่า \(a+b จะได้ 4(a^{2}+b^{2}) -\frac{9}{4}-4=0\)
จะได้ \(a^{2}+b^{2} = \frac{25}{16}\)
เนื่องจาก \(ab = -\frac{1}{2} ดังนั้น a^{2}b^{2}=1/4\)
และสมการที่มี \(a^{2}\) และ \(b^{2}\) เป็นคำตอบจะอยู่ในรุป
\(x^{2}-(a^{2}+b^{2})x +a^{2}b^{2} =0 \)แทนค่าที่ทราบลงไปจะได้สมการที่ต้องการ
\(x^{2}-\frac{25}{16}x +\frac{1}{4}=0\) คือสมการที่ต้องการ

[aaaa]

ขอบคุณครับคุณ R-Tummykung de Lamar รอมาทั้งคืนไม่มีใครเข้ามาเลย เฝ้าเวปอยู่คนเดียว

[PWY]

ให้ a และ b เป็นรากของ 4x²+3x-2
จะได้ a+b = -3/4 และ ab = -1/2
นั่นคือ a^{2}+ิิb^{2} = -7/16 และ a²b²=1/4
ดังนั้นสมการที่ต้องการคือ
16x²+7x+4=0

[aaaa]

เฉลยข้อ 6
ขออภัยอย่างยิ่ง ผิดครับ

[nooonuii]

ข้อ 6 จัดรูปแล้วจะได้สมการกำลังสี่

\[ x^{4} - 2ax^{2} - x + (a^{2} - a) = 0 \]
\[ (x^{2} - x - a)(x^{2} + x + (1 -a )) = 0 \]

ที่เหลือน่าจะได้คำตอบแล้วครับ

[gon]

ข้อ 6 นี่มี Trick นิดหน่อยตรงนี้ครับ. ถ้าไม่อยากเล่นถึงสมการกำลังสี่ คือพอได้ว่า
\[ (a + x) - x^2 = \sqrt{a+x} + x\]
แต่ \(\sqrt{a+x} + x \not= 0\) แน่ ๆ เพราะ \(\, a \geq 1\) และ \(\, x \geq 0\) จึงนำมาหารตลอดได้เป็น
\[\sqrt{a+x} - x = 1\]
พอจัดรูปก็จะได้สมการ \(\, x^2 + x + (1-a) = 0\) ในที่สุด เวลาตอบก็ต้องเลือกเฉพาะค่าที่เป็นบวก

[nooonuii]

ข้อหกนี่มีปัญหาเยอะจริงๆครับ ถ้าคิดแบบของผมจะได้คำตอบคือ

\[ \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2} \] กับ \[ \frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2} \]

แต่พอคิดแบบของพี่กรน่าจะได้คำตอบเดียวนะครับ แต่ผมก็ยังหาที่ผิดไม่ได้อยู่ดี

[warut]

เนื่องจากคำตอบที่ได้ของคุณ nooonuii มาจากการแก้สมการกำลังสี่
ดังนั้นคำตอบบางอันอาจไม่ใช่คำตอบของสมการโจทย์ (ซึ่งอันนี้เป็น
เรื่องธรรมดาของสมการที่ติดรูท) คำตอบอันที่เกินมาคือ
\[x=\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}\]
นั้นมาจากสมการ x² - x - a = 0 ซึ่งมาจากสมการ ึa + x + x = 0
อันเป็น factor ที่คุณ gon เอามาหารตลอดเพราะรู้ว่าไม่มีทางเป็น
ศูนย์นั่นเอง

[nooonuii]

โอ๊ะโอ ลืมเช็คไปคำตอบนึงครับ ตอนแรกคิดว่าน่าจะได้เพราะมากกว่าศูนย์ ปรากฎว่ามากไปขอบคุณ คุณ warut มากครับที่ให้ความกระจ่าง