พีชคณิตหลุดโลก ..

[gon]

คิดเลขทั้งวันนี่สมองมันติ๊ด ๆ ตลอดเลย ขอคลายเครียด (หรือเครียดกว่าเดิมหว่า ) ด้วยการทำข้อ 1 แล้วกันนะครับ.

จัดรูปเป็น \[ 5x^2 - (2y+2)x +(2y^2-2y+1) = 0\]
แล้วใช้สูตร จะได้ \[ x=\frac{y+1\pm\sqrt{-(3y-2)^2}}{5} \]
นั่นคือ \( 5x-y -1 = \pm |3y-2|i \Rightarrow (5x-y-1)^2 = (3y-2)^2\)
แสดงว่า \( 5x-y-1=\pm (3y-2) \)
\ \( 5x-4y=-1 \, ... (1) \) หรือ \( 5x+2y=3 \, ... (2) \Rightarrow (1) + (2) : 10x - 2y = 2\)

Note ถ้าแก้สมการหา \(\, x,y\, \) ออกมาจริง ๆ จะได้ว่า \((x,y) = (\frac{1}{3},\frac{2}{3}) \)

[warut]

วิธีทำข้อ 1 ของคุณ gon แปลกดีครับ คราวนี้ลองมาดูวิธีทำแบบธรรมดาๆ
ของผมกันบ้างดีก่า

จากค่า x ที่ได้จากการแก้สมการกำลังสอง จะเห็นว่าค่าในรูทซึ่งก็คือ -(3y - 2)²
จะต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0 ดังนั้น y จึงเป็นได้ค่าเดียวคือ 2/3 ซึ่งทำให้เราได้
x = 1/3 ดังนั้น 10x - 2y = 2

[gon]

555 โอย. ขำตัวเองครับ. คิดไปแบบนั้นได้ไง อ้อ.ใช่ ๆ รู้สึกว่าผมทำแบบนั้นเพื่อจะพยายามแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง แต่ลืมไปว่าทำแบบง่าย ๆ ก็ได้ แนวคิดบ้าบอแบบนี้ผมไปหยิบมาจากไหนนะนี่ อ้อมโลกสุดชีวิต...

[R-Tummykung de Lamar]

คือ..ข้อ 5 ครับ
ถ้า \[x=\frac{1- \sqrt{5}}{2} \]

คือ ค่านี้มันเป็นลบครับ (ึ5 > 1)
แล้ว x เนี่ย ก็เป็นค่าที่เกิดจาก รูท 2 ตัวมาบวกกัน
\ ค่า x ต้องเป็นบวกครับ . ซึ่งขัดแย้งกัน แสดงว่าคำตอบนี้ตัดไป
คราวนี้ ผมลองแทน \[x=\frac{1+ \sqrt{5}}{2} \]
ไป ปรากฎว่าได้ สมการไม่เป็นจริงครับ ไม่รู้ผมบวกเลขผิดอะไรหรือเปล่าครับ
แปลกจัง

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ R-Tummykung de Lamar:
คือ..ข้อ 5 ครับ
ผมลองแทน \[x=\frac{1+ \sqrt{5}}{2} \]
ไป ปรากฎว่าได้ สมการไม่เป็นจริงครับ ไม่รู้ผมบวกเลขผิดอะไรหรือเปล่าครับ
แปลกจัง

น้อง R-Tummykung de Lamar น่าจะคิดเลขผิดนะครับ
ถ้า x มีค่าดังกล่าว ผมได้
\[\sqrt{x-\frac{1}{x}}=1\]
\[\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt5-1}{2}\]

[R-Tummykung de Lamar]

คือ..คิดเลขผิดจริงๆครับ รูทตัวที่ 2
จาก \[ \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{4}} \]
ผมดันไปตัดทอนเหลือ \[ \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \]
หลังจากนั้น ก็นึกว่ามันไม่สัมพันธ์กัน น่าจะได้สมการไม่เป็นจริงมานึกอีกที ถ้าไม่ตัด
จะได้ \[ \frac{\sqrt{5}-1}{2} \]

ครับ

[warut]

ตัวเลขที่น้อง R-Tummykung de Lamar ทำเป็นแบบยากจัง ลองดูที่ผมทำนะครับ
\[\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt5+1}}\]
\[=\sqrt{\frac{\sqrt5+1-2}{\sqrt5+1}}\]
\[=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}}\]
\[=\sqrt{\frac{\left(\sqrt5-1\right)\left(\sqrt5-1\right)}{\left(\sqrt5+1\right)\left(\sqrt5-1\right)}}\]
\[=\sqrt{\frac{\left(\sqrt5-1\right)^2}{\left(5-1\right)}}\]
\[=\frac{\sqrt5-1}{2}\]

[R-Tummykung de Lamar]

โจทย์ข้อ 8 ครับ
ถ้า \[ a^{x}=\frac{b}{c} , b^{y}=\frac{c}{ a} ,c^{z}=\frac{a}{b} \] จงหา x+y+z

ช้อ 9 สมการ ax²+bx+c มีรากเป็น a และb ถ้า b=a² แล้วจงหาความสัมพันธ์ของ a ,b และ c (สสวท.)

ข้อ 10 จงหาสูตรของจำนวน n เหลี่ยม (เช่น จำนวนสามเหลี่ยมคือ \[ \frac{n(n+1)}{2} \])

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 11 ครับ
ให้ [x] เป็นจำนวนเต็มที่ มากที่สุกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x
ให้ (x) = x-[x]
จงหา
11.1.y-[1-y]
11.2.(x)+(y) ในเทอมของ (x) กับ (y)

[warut]

ข้อ 8 มีใครทำได้บ้างมั้ยครับ ผมหา x + y + z ออกมาได้แต่แบบติด log นัวเนียไปหมด

ข้อ 9 เนื่องจากเรารู้ว่า ax² + bx + c = a(x - a)(x - a²) = ax² - a(a + a²)x + aa³
ดังนั้น -b = a(a + a²) และ c = aa³
เราจึงได้ว่า -b³ = a³(a + a²)³
= a³(a³ + 3a⁴ + 3a⁵ + a⁶)
= a³a³ + 3a³a³(a + a²) + a³a⁶
= a²c + 3abc + ac²
สรุปว่าความสัมพันธ์ของ a ,b และ c ที่ต้องการคือ a²c + ac² + 3abc + b³ = 0

[Alberta]

จากโจทย์ 11. ให้ [x] เป็นจำนวนเต็มที่ มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x ...1
ให้ (x) = x-[x] ...2
จงหา
11.1.y-[1-y]
เนื่องจาก ...1 แปลงเป็นประโยคภาษาได้[x]ฃ x ดังนั้นจะได้ x- [x]ณ 0...3
และจาก...2และ...3 จะได้ (x)=x-[x] และ x- [x]ณ 0
ดังนั้น (x) ณ 0...4
จาก (x)=x-[x] แทน x ด้วย 1-y จะได้ (1-y) = 1-y-[1-y]จะได้
[1-y]=1-y-(1-y)
เป็น y-[1-y]= y-{1-y-(1-y)}
เป็น y-[1-y]= y-1+y+(1-y) = 2y-1+(1-y)...5
จาก...5 เราทราบว่า (x) ณ 0 และค่าxในที่นี้เป็นตัวแปรแทนทุกๆค่าของจำนวน
ดังนั้น แทน x ด้วย y-1 จะได้
(1-y)ณ 0
ดังนั้น yฃ1 จะได้ค่าที่มากสุดของ y คือ 1 และค่ามากสุดของ1-y คือ 0...6
y-[1-y]= 2y-1+(1-y) ...A
[1-y]=y-2y+1-(1-y) = 1-y -(1-y)
จะได้ [1-y]=0 จาก
ดังนั้น 1-y = (1-y) ...7
นำ...7 ไปแทนใน ...A
ดังนั้น y-[1-y]= 2y-1+1-y = y
สำหรับคำถาม 11.1 จะได้ y-[1-y]= y เมื่อ y เป็นจำนวนจริง
ส่วนคำถามข้อ 11.2 ผมยังหาคำตอบไม่ได้ทีครับ ^_^
......................................................................................
วิธีคิดนี้ผมไม่แน่ใจนะครับ ถ้าผิดก็ช่วยบอกด้วนนะครับ
ขอบคุณมากครับ ^_^

[Alberta]

ผมคิดผิดแล้ว(ลืมตรวจสอบ)
...............

[Alberta]

ยากกว่าที่คิดแฮะ
............................................................................................

[gon]

ข้อ 11.1 : ผมคิดแบบนี้ครับ.
y = [y] + (y) จากนิยามนี้จะได้ว่า 0 ฃ (y) < 1 เสมอ
\ [ 1 - y ] = [ 1 - [y] - (y) ] (แทน y ด้วย [y] + (y) ลงใน [1 - y]

1 - [y] เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเมื่อพิจารณาบนเส้นจำนวน ก็จะมีค่าอยู่ระหว่าง 1 - [y] - 1 กับ 1 - [y] + 1 หรือ -[y] กับ 2 - [y] นั่นเอง ดังนั้นเมื่อนำ 1 - [y] ไปหักออกจาก (y) ก็จะไปตกทางซ้ายมือของ 1 - [y] แต่ยังอยู่ทางขวามือของ -[y]

นั่นคือ [ 1 - [y] - (y) ] = -[y]
\ y - [1 - y] = y - (-[y]) = y + [y] เป็นคำตอบ

ส่วน 11.2 อันนี้ไม่รู้จะตอบอะไร เพราะโจทย์ก็บอกมาแบบนั้นอยู่แล้ว

[warut]

ข้อ 11.1 นี่ผมยังไม่ได้ลองทำเลย แต่ผมว่าคำตอบของคุณ gon ยังไม่ถูกนะครับ
เพราะถ้าเราให้ y = 1 เราจะได้ y - [1 - y] = 1 แต่ y + [y] = 2 น่ะครับ

ข้อ 11.2 นี่เห็นด้วยกับคุณ gon ครับ "ให้หา (x) + (y) ในเทอมของ (x) กับ (y)"
ก็ไม่รู้จะทำอะไรต่อแล้วล่ะ