marathon:ม.ปลาย

[Keehlzver]

ผมเอามาจาก My Math เล่มที่ 56 ครับ จริงๆโจทย์บอกว่า "จงหาจำนวนจริง $m$ ที่ทำให้ $m^2+5$ เเละ $m^2-5$ เป็นจำนวนกำลังสอง" ซึ่งผมก็ไม่ทราบว่าจะเป็นจำนวนกำลังสองชนิดใด เเต่ขอให้ตอบคำถามภายใต้เงื่อนไขของ "จำนวนกำลังสองของจำนวนเต็มครับ"

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมเอามาจาก My Math เล่มที่ 56 ครับ จริงๆโจทย์บอกว่า "จงหาจำนวนจริง $m$ ที่ทำให้ $m^2+5$ เเละ $m^2-5$ เป็นจำนวนกำลังสอง" ซึ่งผมก็ไม่ทราบว่าจะเป็นจำนวนกำลังสองชนิดใด เเต่ขอให้ตอบคำถามภายใต้เงื่อนไขของ "จำนวนกำลังสองของจำนวนเต็มครับ"

ถ้าเป็นจำนวนเต็มก็ไม่มีครับ

สมมติ $m^2+5=a^2, m^2-5=b^2$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็ม

จะได้ $10=a^2-b^2$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ใน modulo $4$

[Keehlzver]

ข้อต่อไปละครับพี่ Nooonuii

ว่าเเต่สมการ $a^2-b^2=10$ ตีความได้ว่าไม่มีกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็มใดๆที่ห่างกัน $10$ หน่วยหรือเปล่าครับ?

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ว่าเเต่สมการ $a^2-b^2=10$ ตีความได้ว่าไม่มีกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็มใดๆที่ห่างกัน $10$ หน่วยหรือเปล่าครับ?

ใช่แล้วครับ แต่ถ้าดูจากบทพิสูจน์ของข้อที่แล้ว สามารถสรุปได้มากกว่านั้นอีกครับ
$a^2-b^2$ ไม่สามารถเหลือเศษ 2 จากการหารด้วย 4 ได้ ซึ่งตีความได้ว่า
ไม่มีกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็มใดๆที่ห่างกัน $2,6,10,14,18,...$ หน่วยครับ

[nooonuii]

ข้อนี้ง่ายไปรึเปล่า

จงหาค่าของ

$\dfrac{1}{1+\tan{1^{\circ}}}+\dfrac{1}{1+\tan{2^{\circ}}}+\cdots+\dfrac{1}{1+\tan{89^{\circ}}}$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อนี้ง่ายไปรึเปล่า

จงหาค่าของ

$\dfrac{1}{1+\tan{1^{\circ}}}+\dfrac{1}{1+\tan{2^{\circ}}}+\cdots+\dfrac{1}{1+\tan{89^{\circ}}}$

ก็จับคู่เลยครับ
$\dfrac{1}{1+\tan{1^{\circ}}}+\dfrac{1}{1+\tan{89^{\circ}}}=\dfrac{2+tan1^o+tan89^o}{1+\tan1^o+tan89^o+tan1^otan89^o}=1$
เพราะ$tan1^otan89^o=1$
ทำนองเดียวกัน
$\dfrac{1}{1+\tan{2^{\circ}}}+\dfrac{1}{1+\tan{88^{\circ}}}=\dfrac{2+tan2^o+tan88^o}{1+\tan2^o+tan88^o+tan2^otan88^o}=1$
เพราะ$tan2^otan88^o=1$

จับคู่ได้หมดยกเว้น $\dfrac{1}{1+\tan{45^{\circ}}}=0.5$
ตอบ 44.5 ครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อนี้ง่ายไปรึเปล่า

จงหาค่าของ

$\dfrac{1}{1+\tan{1^{\circ}}}+\dfrac{1}{1+\tan{2^{\circ}}}+\cdots+\dfrac{1}{1+\tan{89^{\circ}}}$

ใช้ Co-function
$\dfrac{1}{1+\tan{89^{\circ}}} = \dfrac{tan{1^{\circ}}}{1+\tan{1^{\circ}}}$

$\dfrac{tan{1^{\circ}}}{1+\tan{1^{\circ}}} + \dfrac{1}{1+\tan{1^{\circ}}} = 1$

$\dfrac{1}{1+\tan{88^{\circ}}} = \dfrac{tan{2^{\circ}}}{1+\tan{2^{\circ}}}$

$\dfrac{tan{2^{\circ}}}{1+\tan{2^{\circ}}} + \dfrac{1}{1+\tan{2^{\circ}}} = 1$

ทำไปเรื่อยๆ ได้ 44 คู่ คือ 44

$\dfrac{1}{1+\tan{45^{\circ}}} = \frac{1}{2} $

$\therefore 44 + \frac{1}{2}$ = 44.5
_________________________________________

กำหนด $tan A = \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}$ และ $cot A = \sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ แล้ว $tan A + cot A = ?$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อนี้ง่ายไปรึเปล่า

จงหาค่าของ

$\dfrac{1}{1+\tan{1^{\circ}}}+\dfrac{1}{1+\tan{2^{\circ}}}+\cdots+\dfrac{1}{1+\tan{89^{\circ}}}$

$$=\frac{tan89}{1+tan89}+\frac{tan88}{1+tan88}+...+\frac{tan46}{1+tan46}+\frac{1}{2}+\frac{tan46}{1+tan46}+...+\frac{tan89}{1+ta n89}$$
$$=\frac{1}{2}+44=44\frac{1}{2}=\frac{89}{2}$$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ตอบ 3 ครับ
ไว้ค่อยมาโพสวิธีทำนะครับ วันนี้นอนก่อนครับ

[tongkub]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

กำหนด $tan A = \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}$ และ $cot A = \sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ แล้ว $tan A + cot A = ?$

ให้ tan A = A , cot A = B

พิจาีรณา $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 -AB + B^2)$

$A+B = \frac{A^3 + B^3}{A^2 - AB + B^2}$

$A+B = \frac{A^3 + B^3}{(A+B)^2 - 3AB}$

เนื่องจาก$A^3 + B^3 = 18$
$AB = 1$

ให้ $A+B = x$

$ x = \frac{18}{x^2 - 3}$

$ x^3 - 3x - 18 = 0$
$(x-3)(x^2 + 3x + 6) = 0 $

พบว่า $x-3$ ใช้ได้ $\therefore x = 3$

ต่อเลยครับ

จงหาค่่าของ $sin(\frac{15\pi}{34})sin(\frac{13\pi}{34})sin(\frac{9\pi}{34})sin(\frac{\pi}{34})$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อนี้ง่ายไปรึเปล่า

จงหาค่าของ

$\dfrac{1}{1+\tan{1^{\circ}}}+\dfrac{1}{1+\tan{2^{\circ}}}+\cdots+\dfrac{1}{1+\tan{89^{\circ}}}$

จับคู่ $1-89 , 2-88 ,...,44-46,45$
$tanA = \frac{1}{tan(90-A}$
หารูปแบบทั่วไป จะได้ $\frac{1}{1+tanA} + \frac{1}{1+tan(90-A)}$
$\frac{1}{1+\frac{1}{tan(90-A)} } + \frac{1}{1+tan(90-A)}$
ให้ $tan(90-A) = T$
จะได้ $\frac{T}{T+1} + \frac{1}{1+T} = 1$

ตอบ $44\frac{1}{2} $

[Ne[S]zA]

จงหาค่าของ $\sin^31^{\circ}+\sin^32^{\circ}+\sin^33^{\circ}+...+\sin^3360^{\circ}$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จงหาค่าของ $\sin^31^{\circ}+\sin^32^{\circ}+\sin^33^{\circ}+...+\sin^3360^{\circ}$

$\sin^3 \theta=-\sin^3 (360-\theta ) $

$\therefore sin^31^{\circ}+\sin^32^{\circ}+\sin^33^{\circ}+...+\sin^3360^{\circ}=\sin^3 360^{\circ}=0$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

คุณ nesza ข้ามข้อคำถามคุณtongkubไหมเอ่ย?
ลองมาเฉลยของคุณtongkubก่อนนะครับ
ใช้ co-function
แปลงร่าง $sin\frac{15\pi }{34} = cos\frac{2\pi }{34} $
ทำนองเดียวกัน $sin\frac{13\pi }{34} = cos\frac{4\pi }{34} $
$sin\frac{9\pi }{34} = cos\frac{8\pi }{34} $
$sin\frac{\pi }{34} = cos\frac{16\pi }{34} $
ให้ $a= sin\frac{15\pi }{34}sin\frac{13\pi }{34}sin\frac{9\pi }{34}sin\frac{\pi }{34} $
จะได้ว่า $a= cos\frac{2\pi }{34}cos\frac{4\pi }{34}cos\frac{8\pi }{34}cos\frac{16\pi }{34} $
จากนั้น เอา$2sin\frac{2\pi }{34}$คูณตลอด
ได้ $2sin\frac{2\pi }{34}a= sin\frac{4\pi }{34}cos\frac{4\pi }{34}cos\frac{8\pi }{34}cos\frac{16\pi }{34} $
เอา 2 คูณ อีก 3รอบจะได้
$16sin\frac{2\pi }{34}a=sin\frac{32\pi }{34}$
และ$sin\frac{2\pi }{34}=sin\frac{32\pi }{34}$
คำตอบคือ $\frac{1}{16}$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ไปต่างจังหวัดมาหลายวัน กระทู้นี้เงียบเลยครับ
ปลุกเสียหน่อย
กำหนดให้ $f(x) =\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{1+...} } $
จงหา$f'(6)$