ช่วยตรวจ Calculus หน่อยครับ

[จูกัดเหลียง]

โจทย์มีว่า Let $f(x)=1-\sin x$ and $$g(x)=\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,dt $$
Prove that $g$ is Convex function

My Unsure

ผมใช้ตัวนี้อ่ะครับ $$\int uv dx=u\int v dx-\int (u'\int vdx) dx $$
เเล้วเเทน $u=x-t,v=f(t),x=t$
จะได้ว่า $$g(x)=(x-t)\int_{0}^x f(t) dt-\int_{0}^x (-\int_{0}^x f(t)dt)dt=(x-t)(t+\cos t)+\int _{0}^x (t+\cos t) dt=\frac{x^2}{2}-x+\sin x$$
ดังนั้น $g''(x)=1-\sin x\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$

[~ArT_Ty~]

ถูกแล้วครับ