Warm up a little bit ! *0*

[Beatmania]

รู้สึกว่าไม่จริงนะครับ เช่น

$2^{2012} \equiv 4^{2011} \pmod{2011} $ แต่ $2012 \not\equiv 2011 \pmod{2011} $

มันมี ทบ. อันนี้อยู่ครับ

"ให้ $n$ เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่ $a^n \equiv 1 \pmod{m} $ ถ้า $a^k \equiv 1 \pmod{m} $ แล้วจะได้ว่า $n|k$" ครับผม

[Keehlzver]

มาเติมโจทย์ให้ครับ

1. หาจำนวนเต็ม $x,y$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $x^4-x+1=y^2$

2. ให้ $F_{n}=2^{2^n}+1$ จงพิสูจน์ว่า $F_{n}\mid 2^{F_{n}}-2$ ทุกค่า $n$

3.หาจำนวนเฉพาะ $p,q$ ทั้งหมดที่ $pq\mid (5^p-2^p)(5^q-2^q)$

4.จงพิสูจน์ว่ามี $p,q$ ที่ทำให้ $n-p$ และ $n-q$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ทุกจำนวนเต็มคู่ $n>6$

5.ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า $a=b$ และ $ab+1\mid a^2+b^2$ จงพิสูจน์ว่า $a=b=1$ เท่านั้น

6.จงพิสูจน์ว่า ไม่มี $n$ ที่ $n\mid 2^n-1$ แต่มี $n$ เป็นอนันต์ที่ $n \mid 2^n+1$

[Beatmania]

4. 1 กับ 3 ครับ (จน. คี่ติดกัน หรม. เป็น 1 แน่นอนครับ )

[Pain 7th]

ถ้า $x<-1$

$x^4 < x^4-x+1 < (x^2+1)^2$ ขัดแย้ง

ถ้า $x> 1 $

$x^4>x^4-x+1 >(x^2-1)^2$ ขัดแย้ง

เพราะฉะนั้น $1 \geq x \geq -1$ ก็นั่งแทนค่าได้

$(x,y)=(0, \pm 1 ) ,(1,1)$

[Thgx0312555]

2. Lemma :: เมื่อ $0\le k<m, 2^{2^k}+1 | 2^{2^m}-1$ ซึ่งจริงจาก $2^{2^n}-1 = (2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^{n-2}}+1)\cdots (2^2+1)(2+1)$

แทนค่า $k=n, m=2^n$ จะได้ $2^{2^n}+1 | 2^{2^{2^n}}-1$
$2^{2^n}+1 | 2^{2^{2^n}+1}-2$
$F_n | 2^{F_n}-2$

[Beatmania]

ข้อ 6 ของคุณ Keehlzver
ข้อข้างหน้าลองดูจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่หาร $n$ ลงตัวครับ
ข้อข้างหลังต้องทดลองดูเอาครับ ลองจากเลขน้อยๆ แล้วหาความสัมพันธ์ดู
(ปลุกกระทู้ตัวองไปในตัวด้วย 55)