โจทย์อนุกรมครับบบ

[Ne[S]zA]

จงหาค่าของ
1)

$\frac{\frac{1}{2^9}+\frac{1}{4^9}+\frac{1}{6^9}+...}{\frac{1}{1^9}-\frac{1}{3^9}+\frac{1}{5^9}-\frac{1}{7^9}+...}$

2)ข้อนี้มะใช่อนุกรมนะครับ กำหนด $f(x)=x^{99}+x^{98}+...+x^2+x+1$ จงหาเศษจากการหาร $f(x^{100})$ ด้วย $f(x)$
ข้อสองนี่ตอบ $x-1$ ป่ะครับไม่แน่ใจ

[warutT]

ข้อ 1 ตอบ $\dfrac{1}{2^9-1}$ หรือเปล่าครับ

[warutT]

1.$\frac{\frac{1}{2^9}(1+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)}{(1+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)-\frac{1}{2^9}(1+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)}$
$=\frac{\frac{1}{2^9}}{1-\frac{1}{2^9}}$
$=\frac{1}{2^9-1}$

[LightLucifer]

ข้อสองผมคิดได้100 อ่ะครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อสองผมคิดได้100 อ่ะครับ

ขอวิธีทำด้วยก็ดีครับ
ปล.ผมคิดผิดอีกแว้วTT

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

1.$\frac{\frac{1}{2^9}(1+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)}{(1+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)-\frac{1}{2^9}(1+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)}$
$=\frac{\frac{1}{2^9}}{1-\frac{1}{2^9}}$
$=\frac{1}{2^9-1}$

เอ่อ...ถามไรนิดครับ ตัวส่วนมันเป็น $\frac{1}{1^9}-\frac{1}{3^9}+\frac{1}{5^9}-...$ แต่ของคุณ warutT กะจายแล้วมันเป็น บวกหมดอ่ะครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ขอวิธีทำด้วยก็ดีครับ
ปล.ผมคิดผิดอีกแว้วTT

ผมก็ไม่ชัวหรอกครับที่ผมคิดคือ
เศษจากการหารของ $\frac{f(x^{100})(x-1)}{f(x)(x-1)}=\frac{f(x^{100})(x-1)}{x^{100}-1}=
\frac{(x^{9900}+x^{9800}+...+x^{100}+1)(x-1)}{(x^{100}-1}$แทน $x^{100}=1$จะได้เศษคือ
100(x-1) ดังนั้นเศษของ $\frac{f(x^{100})}{f(x)}=\frac{100(x-1)}{(x-1)}=100$

[Ne[S]zA]

อื้ม ขอบคุณครับ

[Naruto-Su.]

คุณ lightlusofer ชอบใช้ทฤษฏีเศษเหลือนะคับในประกายกุหลาบเห็นใช้ไปครั้งหนึ่งแล้ว
แต่ก็เยี่ยมยอดมากคับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 2. ตอบ 100 ครับ คือจากทฤษฎีเศษเหลือจะให้ f(x)=0

แล้วเราจะได้ x^100=1

ดังนั้น f(x^100)= f(1)=1+1+...+1 ( 100ตัว ) =100

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

เอ่อ...ถามไรนิดครับ ตัวส่วนมันเป็น $\frac{1}{1^9}-\frac{1}{3^9}+\frac{1}{5^9}-...$ แต่ของคุณ warutT กะจายแล้วมันเป็น บวกหมดอ่ะครับ

ขอโทษครับผมอ่านโจทย์ผิด
$\frac{1}{1^9}-\frac{1}{3^9}+\frac{1}{5^9}-...$
$=(\frac{1}{1^9}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)-2(\frac{1}{3^9}+\frac{1}{5^9}+\frac{1}{7^9}+...)-(\frac{1}{2^9}+\frac{1}{4^9}+\frac{1}{6^9}+...)$
$=(\frac{1}{1^9}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)-2[(\frac{1}{1^9}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)-\frac{1}{2^9}(\frac{1}{1^9}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)]+\frac{1}{2^9}(frac{1}{1^9}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{3^9}+...)$
$\therefore \frac{\frac{1}{2^9}+\frac{1}{4^9}+\frac{1}{6^9}+...}{\frac{1}{1^9}-\frac{1}{3^9}+\frac{1}{5^9}-\frac{1}{7^9}+...}$
$=\frac{\frac{1}{2^9}}{1-2[1-\frac{1}{2^9}]}-\frac{1}{2^9}$
$=\frac{\frac{1}{2^9}}{\frac{1}{2^9}-1}$
$=\frac{1}{1-2^9}$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมว่าคำตอบควรเป็นบวกคือ 1/(2^9-1)นะครับ

[Ne[S]zA]

ขอบคุณทุกคนครับที่ช่วยเฉลย