ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ

[Little Penguin]

ขอถามนิดนึงนะครับ ข้อ 8 นี่หมายความว่า สมมติ จำนวน $n$ จำนวนที่ว่า เป็น $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ก็จะได้ว่า $a_i\pm\sqrt{a_i}=$ sq. of a rational number เมื่อ $i=1,2,\cdots n$ ใช่ไหมครับ?

[Switchgear]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

ขอถามนิดนึงนะครับ ข้อ 8 นี่หมายความว่า สมมติ จำนวน $n$ จำนวนที่ว่า เป็น $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ก็จะได้ว่า $a_i\pm\sqrt{a_i}=$ sq. of a rational number เมื่อ $i=1,2,\cdots n$ ใช่ไหมครับ?

ที่ถามมาก็ถูกครับ แต่ในเฉลยจริงๆ เขาแสดงให้เห็นว่าหาได้ไม่จำกัด (infinity)
เพราะเดิมโจทย์ก็ไม่ได้บอกว่า n เป็นเท่าไรอยู่แล้ว จึงหาไปได้เรื่อยๆ

ผมขอยกตัวอย่างคำตอบแรกของเขานะครับ

คำตอบแรกสุดคือ (25/24)^2 เนื่องจาก (25/24)^2 + (25/24) = (35/24)^2
และ (25/24)^2 - (25/24) = (5/24)^2 เป็นต้น

ผมไม่ได้เข้ามาตอบนานมากแล้ว ลืมวิธีพิมพ์สมการเกือบหมด เอาไว้จะทบทวนใหม่
และพิมพ์ให้สวยกว่าคำอธิบายข้างต้น :-)

[Switchgear]

มาพบกับปัญหาข้อ 9 กันเลยครับ!

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problem 9:
To find a comnon value of x that will make
a²x² +/- ax = , b²x² +/- bx = , c²x² +/- cx = , etc. ad infinutum.



ปัญหาข้อ 9:
จงหาค่าของ x ที่ใช้ร่วมกัน ซึ่งจะทำให้ a²x² +/- ax = ,
b²x² +/- bx = , c²x² +/- cx = , ต่อไปจนถึงอนันต์


-----------------------------------------------------------------------------------------------

ผมมีปัญหากับการพิมพ์เครื่องหมายบวกลบ (+/-) ทำให้สวยไม่ได้
แต่คิดว่าคงพอเข้าใจได้

ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์นะครับ :-)

[Switchgear]

มาพบกับปัญหาข้อ 10 กันเลย ไม่ต้องรอช้า!

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problem 10:
Find three square numbers in arithmetical progression,
such that if from each its root be subtracted, the
three remainders shall be rational squares.


ปัญหาข้อ 10:
จงหาจำนวนยกกำลังสอง 3 จำนวนในลำดับเลขคณิต,
ซึ่งหากนำรากของมันมา "ลบออกจากตัวมันเองแล้ว",
ผลลัพธ์ทั้งสามค่าต้องเป็นจำนวนตรรกยะยกกำลังสอง.



-----------------------------------------------------------------------------------------------


ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์นะครับ :-)

[Little Penguin]

เครื่องหมาย บวกลบ ใน LaTeX ให้ใช้โค้ด \pm ได้ครับ

Edit: ข้อ 8 ให้ $\displaystyle a_i=\frac{\left(i^2+2i+2\right)^4}{16i^2\left(i+1\right)^2\left(i+2\right)^2}$ เมื่อ $i\in\mathbb{N}$
จะได้
$\displaystyle a_i+\sqrt{a_i}=\left(\frac{\left(i^2+2i+2\right) \left(i^2+4i+2\right)}{4i \left(i+1\right) \left(i+2\right)}\right)^2$

$\displaystyle a_i-\sqrt{a_i}=\left(\frac{\left(i^2+2i+2\right) \left(i^2-2\right)}{4i \left(i+1\right) \left(i+2\right)}\right)^2$

ดังนั้น มีำจำนวนตรรกยะ $a_i$ จำนวนไม่จำกัดที่ $a_i\pm\sqrt{a_i}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ข้อ 6 เราก็นิยาม $a_i=\left(i^2+2i+2\right)^2,b_i=4i\left(i+1\right) \left(i+2\right)$ จะได้ $a_i^2\pm a_ib_i$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์เช่นกันครับ

[Little Penguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

...a²x² +/- ax = ,...

ทำไมผมเห็นสัญลักษณ์หลังสมการอันด้านบน เป็นกล่องสี่เหลี่ยม ข้างในมีตัวอักษร F087 อยู่
ไม่ทราบว่ามันคืออะไรครับ

ขอถามหน่อยนะครับว่า พวก a,b,c,x อะไรพวกนี้ เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ จำนวนเต็ม ครับ? คิดว่าระบุไว้น่าจะดีครับ เพราะว่าแต่ละข้อมันไม่เหมือนกัน

[Switchgear]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

ทำไมผมเห็นสัญลักษณ์หลังสมการอันด้านบน เป็นกล่องสี่เหลี่ยม ข้างในมีตัวอักษร F087 อยู่
ไม่ทราบว่ามันคืออะไรครับ

ขอถามหน่อยนะครับว่า พวก a,b,c,x อะไรพวกนี้ เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ จำนวนเต็ม ครับ? คิดว่าระบุไว้น่าจะดีครับ เพราะว่าแต่ละข้อมันไม่เหมือนกัน

เครื่องผมเห็นแต่กล่องสี่เหลี่ยม (ไม่มีตัวอักษร F087 อยู่ข้างใน) หมายถึง จำนวนยกกำลังสอง (Squared)
พวก a, b, c, x เป็นจำนวนตรรกยะครับ !

[Switchgear]

ลองมาดูโจทย์ข้อ 23 กันดีกว่า ... พยายามโพสต์รูปตามหนังสือต้นฉบับ
คงต้องขอแรงใครสักคนแปลโจทย์ให้หน่อย ผมอ่านแล้วมึน :-)

ในตอนท้ายสุดของบรรทัดที่ 4 ซึ่งเป็นเครื่องหมาย Xd หมายถึง ถูกคูณ
(คงมาจาก multiply + ed = multiplied ในเล่มเขาชอบย่อแบบนี้)
.

[Little Penguin]

สำหรับ ข้อ 7
เราเลือก $\displaystyle x=5^{4n}$
เราสามารถแสดงได้ว่า $5^{2n}$ สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวก 2 จำนวนได้อย่างน้อย $n$ แบบที่แตกต่างกัน
ให้ $\displaystyle 5^{2n}=x_i^2+y_i^2$ เมื่อ $i=1,2,\cdots,n$ โดยที่ $x_i>y_i>0$ และ $\left\{x_i,y_i\right\}\not=\left\{x_j,y_j\right\}$ สำหรับ $i\not =j$ ใดๆ

เลือก $\displaystyle a_i=4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)$
สังเกตว่า $\displaystyle x=5^{4n}=\left(x_i^2+y_i^2\right)^2$

จาก $\displaystyle x^2\pm a_ix=\left(\left(x_i^2\pm 2x_iy_i-y_i^2\right) \left(x_i^2+y_i^2\right)\right)^2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เราจึงเลือก $x,a_i$ ได้ตามที่โจทย์ต้องการ

สำหรับข้อ 9 สังเกตว่า
$$x^2\pm a_ix=sq.\Leftrightarrow \left(\frac{x}{a_i}\right)^2\pm\frac{x}{a_i}=sq.\Leftrightarrow b_i^2x^2\pm b_ix=sq.$$
เมื่อ $\displaystyle b_i=\frac{1}{a_i}$

ดังนั้น ในทำนองเดียวกับข้อ 7 เราเลือก $x=5^{4n}=\left(x_i^2+y_i^2\right)^2$, $\displaystyle b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$

ก็จะได้ว่า $\displaystyle b_i^2x^2\pm b_ix=\left(\frac{\left(x^2\pm2xy-y^2\right) \left(x^2+y^2\right)}{4xy \left(x^2-y^2\right)}\right)^2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ตามต้องการ

Edit: เพิ่งนึกขึ้นได้ ข้อ 7 กับ 9 พวก $a,b,c,...$ (ตัวที่ไม่ใช่ common value ทั้งหมด) พวกนี้ เขาเลือกมาให้เรา หรือว่า ให้เราเลือกเองครับ?

[Little Penguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

คุณละครับ คิดว่าต้องมีกำลังห้าอย่างน้อยกี่จำนวน จึงจะให้ผลรวมเป็นกำลังห้าได้ ?

ประเด็นนี้ผู้เขียนบทความคือ Artemas Martin of Washington บอกไว้ว่าเขาไม่เคยค้นพบกรณีของ 3, 4 หรือ 5 จำนวน
ที่ให้ผลรวมเป็นกำลังห้า นั่นคือต่ำสุดต้องใช้ 6 จำนวน (แต่ไม่มีการพิสูจน์ ใครอยากลองค้นหาข้อแย้งก็เชิญได้ครับ)

ตามวิกิ L. J. Lander, T. R. Parkin เขาพบสมการนี้ตั้งแต่ปี 1966 ครับว่า:

$$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5$$

[nongtum]

#68
เพื่อความสะดวก ขอใช้การถอดความและขยายความแทนการแปลตามตัวอักษร สงสัยว่าตรงไหนผิดหรือไม่ชัดเจนบอกได้นะครับ

23. จงหาจำนวนจัตุรัสสี่จำนวน $a,b,c,d$ ที่ทำให้
(1) $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(2) $a+d$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(3) $b+c$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(4) $(\sqrt{c}+\sqrt{d})\sqrt{c}$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(5) $(\sqrt{c}+\sqrt{d})\sqrt{b+d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(6) $a+b+c+3c$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(7) $a+b+c+d+3c$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(8) $cd+ab$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(9) $cd+ac$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(10) $cd+bc$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(11) $cd+ab+ac+bc$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(ตั้งแต่ข้อ 12-14 เป็นความสัมพันธ์แบบ cyclic จะแสดงแค่ตัวอย่างหนึ่งตัวเท่านั้น: ผู้แปล)
(12) $a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(13) $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(14) $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+\sqrt{d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส
(15) จงหาจำนวนจัตุรัสอีกสี่จำนวน $p,q,r,s$ ที่ $p+\sqrt{q}+\sqrt{r}+\sqrt{s},\ q+\sqrt{p}+\sqrt{r}+\sqrt{s},\ r+\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{s}$ เป็นจำนวนจัตุรัสทุกตัว
และ $p,q,r,s$ สอดคล้องเงื่อนไขข้อ $2-11$

[TitanTS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

ข้อ 6 เราก็นิยาม $a_i=\left(i^2+2i+2\right)^2,b_i=4i\left(i+1\right) \left(i+2\right)$ จะได้ $a_i^2\pm a_ib_i$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์เช่นกันครับ

ไม่ได้เข้ามาแปบเดียว พัฒนากันไวดีนะครับนี้
อันนี้ข้อ 6 ในแบบของผม (เห็นเขานิยมเขียนแบรูปเท่าไปกันเลยอยากเขียนบ้าง)

$a^2\pm ab = sq.$
$a = (u^2 + v^2) ,$
$b = 4uv(u-v)(u+v)$

แล้วถ้าเราคูณ $a_i$ เข้าไปด้วย $k^2$ เราก็จะได้เพิ่มอีกไม่รู้จักจบ

ส่วนข้อ 7 มาในลักษณะเดียวกัน สังเกตตรงที่ว่า $a = (u^2 + v^2)$ ต้องใช้หลาย u,v ที่ทำให้ได้ a เท่ากัน
จากความขี้เกียจของผมก็เลยไปดึงเอาเลขจากตาราง Pythagorean triples เอามาคำนวนหา a,b โดยเลือกเอาตรงที่มี $u^2 + v^2$ มากๆ (อย่างที่ผมเอามาก็คือ $425^2$)

ปัญหาคือผมรู้ได้อย่างไงว่ามี $x$ ที่ทำให้สร้างสมการกี่สมการก็ได้คำตอบคือ
เอกลักษณ์นี้ (ว่ากันว่า คิดโดย Brahmagupta ชาวอินเดีย)
$(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2) = (x_1y_1+x_2y_2)^2 + (x_1y_2-x_2y_1)^2$

แค่สมมุติว่าเรามี
$a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2=a_3^2+b_3^2=....=a_n^2+b_n^2$
เราก็จะสร้างสมการได้ n สมการแล้ว
ทีนี้ถ้าผมเอามาคูณต่อด้วยอะไรซักอย่างเราก็ยิ่งมีสมการเพิ่ม
$(c^2+d^2)(a_1^2+b_1^2)=(ca_1+db_1)^2+(cb_1-da_1)^2=(cb_1+da_1)^2+(ca_1-db_1)^2$
$=(c^2+d^2)(a_2^2+b_2^2)=(c^2+d^2)(a_3^2+b_3^2)=(c^2+d^2)(a_n^2+b_n^2)$

[Switchgear]

ขอบคุณ #71 ของคุณ nongtum ที่ช่วยแปลโจทย์ยาวเหยียดข้อ 23 ให้เพื่อนๆ ได้อ่าน
(เพื่อนๆ บางคนอาจเก่ง Math แต่อาจจอดเพราะโจทย์ภาษาอังกฤษได้)

ขอบคุณ #70 ของคุณ Little Penguin ที่ช่วย Update ข้อมูลเกี่ยวกับกำลังห้า

ขอบคุณหลายคนที่ช่วยกันเสนอแนวคิดการแก้โจทย์ ผมคิดว่ากระทู้คงเป็นประโยชน์
กับน้องๆ อีกหลายรุ่นเลย :-)

[TitanTS]

^
#72
ข้างบนผมแก้แค่ทีเดียวทำไมมันขึ้นมามากมายอย่างงี้
มาต่อกันที่ข้อ 8
มันก็คล้ายๆกับ ข้อที่ผ่านมาแค่ให้ b=1 เราก็แค่เอา $4uv(u+v)(u-v)$ หารออกตลอดก็จะได้

$a^2 \pm a =sq.$
$a = \frac{u^2 + v^2}{4uv(u+v)(u-v)} $

ดูถ้ามันง่ายขึ้นกว่้าข้อแรกๆมากเลยครับนี้
แล้วใครมีเวลาลองกลับไปดูข้อที่เราข้ามกันมาด้วยนะครับ

[Switchgear]

ตอบคุณ Little Penguin ในท้าย #69 ที่ถามว่า

Edit: เพิ่งนึกขึ้นได้ ข้อ 7 กับ 9 พวก a,b,c,... (ตัวที่ไม่ใช่ common value ทั้งหมด) พวกนี้ เขาเลือกมาให้เรา หรือว่า ให้เราเลือกเองครับ?

พวก a,b,c,... ให้เราเลือกได้เอง ซึ่งก็ต้องเลือกเพื่อให้ x เป็น common value
ดังนั้น x แต่ละตัว ก็จะมี a,b,c,... ที่ไม่เหมือนกันไปเรื่อยๆ