ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ

[TitanTS]

คือผมสงสัยว่า
ข้อ 9 ข้อ 10
สิ่งที่เราหานั้นอยู่ใน$\mathbb{N}$ หรือ$\mathbb{Q}$ กันแน่ครับ

[Switchgear]

ตอบคุณ TitanTS ในท้าย #74 ที่เกริ่นว่า

"ดูถ้ามันง่ายขึ้นกว่้าข้อแรกๆมากเลยครับนี้"

เท่าที่ผมสังเกตดู เขาไม่ได้จัดเรียงตามลำดับความยากซะทีเดียว
ข้อ 7 จนถึง 14 ถามคล้ายๆ กัน แต่เพิ่มเงื่อนไขโน่นนิดนี่หน่อย
ผมก็เลยไม่ได้โพสต์เพิ่มในตอนนี้ เพราะมันบอกโจทย์ยาก
คือเขาใช้วิธีถามต่อ โดยอ้างบางส่วนของเฉลยข้อก่อนนั้น

เอาเป็นว่าเราเน้นกันที่ข้อ 23 อันยาวเหยียดดีกว่า :-)

[Switchgear]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TitanTS

คือผมสงสัยว่า
ข้อ 9 ข้อ 10
สิ่งที่เราหานั้นอยู่ใน$\mathbb{N}$ หรือ$\mathbb{Q}$ กันแน่ครับ

เอาตามที่เขาเฉลยไว้นะครับ
ในข้อ 9 คำตอบของเขาเน้นใน $\mathbb{N}$
ส่วนข้อ 10 คำตอบของเขาเน้นใน $\mathbb{Q}$

โจทย์ที่โพสต์บางข้อก็ไม่ชัดเจน แต่เป็นไปตามต้นฉบับเดิม
หากใครสงสัยก็ถามเพิ่มได้ครับ จะพยายามตอบให้

ผมนับถือฝีมือของทุกคนจริงๆ เพราะผมเองก็ยอมแพ้โจทย์พวกนี้
(สมองค่อยๆ ช้าลง ตามอายุที่ค่อยๆ เพิ่มขึ้น ... 555)

[TitanTS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

(สมองค่อยๆ ช้าลง ตามอายุที่ค่อยๆ เพิ่มขึ้น ... 555)

อย่าคิดมากครับ อายุเป็นเพียงตัวเลข แต่ข้อ 23 นี้สิไม่ยอมเป็นตัวเลขเลย
แค่อ่านโจทย์ก็เหนื่อยแล้ว
ข้อ 9 นี้ก็ใช่น้อย สงสัยสิ่งที่ให้ทำในข้อที่ผ่านๆมาจะเป็นแค่การปูทางมาข้อนี้
ข้อ 10 เองก็อ่านโจทย์แล้วงงๆ คือ root มันหรือ squart มันที่เป็น ลำดับเลขคณิต
เอาเป็นว่าขอตัวอย่างคำตอบบางตัวมาให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[Little Penguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TitanTS

...
ส่วนข้อ 7 มาในลักษณะเดียวกัน สังเกตตรงที่ว่า $a = (u^2 + v^2)$ ต้องใช้หลาย u,v ที่ทำให้ได้ a เท่ากัน
จากความขี้เกียจของผมก็เลยไปดึงเอาเลขจากตาราง Pythagorean triples เอามาคำนวนหา a,b โดยเลือกเอาตรงที่มี $u^2 + v^2$ มากๆ (อย่างที่ผมเอามาก็คือ $425^2$)

ปัญหาคือผมรู้ได้อย่างไงว่ามี $x$ ที่ทำให้สร้างสมการกี่สมการก็ได้คำตอบคือ
เอกลักษณ์นี้ (ว่ากันว่า คิดโดย Brahmagupta ชาวอินเดีย)
$(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2) = (x_1y_1+x_2y_2)^2 + (x_1y_2-x_2y_1)^2$

แค่สมมุติว่าเรามี
$a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2=a_3^2+b_3^2=....=a_n^2+b_n^2$
เราก็จะสร้างสมการได้ n สมการแล้ว
ทีนี้ถ้าผมเอามาคูณต่อด้วยอะไรซักอย่างเราก็ยิ่งมีสมการเพิ่ม
$(c^2+d^2)(a_1^2+b_1^2)=(ca_1+db_1)^2+(cb_1-da_1)^2=(cb_1+da_1)^2+(ca_1-db_1)^2$
$=(c^2+d^2)(a_2^2+b_2^2)=(c^2+d^2)(a_3^2+b_3^2)=(c^2+d^2)(a_n^2+b_n^2)$

คือจะทราบได้อย่างไรว่าแต่ละแบบจากการสร้างแบบนี้ มันจะได้คำตอบที่แตกต่างกันครับ?

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TitanTS

^
#72
ข้างบนผมแก้แค่ทีเดียวทำไมมันขึ้นมามากมายอย่างงี้
มาต่อกันที่ข้อ 8
มันก็คล้ายๆกับ ข้อที่ผ่านมาแค่ให้ b=1 เราก็แค่เอา $4uv(u+v)(u-v)$ หารออกตลอดก็จะได้

$a^2 \pm a =sq.$
$a = \frac{u^2 + v^2}{4uv(u+v)(u-v)} $

ดูถ้ามันง่ายขึ้นกว่้าข้อแรกๆมากเลยครับนี้
แล้วใครมีเวลาลองกลับไปดูข้อที่เราข้ามกันมาด้วยนะครับ

จริงๆแล้ว ถ้าสังเกต ก็จะเห็นว่า ข้อ 6 กับ 8 มันมาคู่กัน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

ตอบคุณ Little Penguin ในท้าย #69 ที่ถามว่า

Edit: เพิ่งนึกขึ้นได้ ข้อ 7 กับ 9 พวก a,b,c,... (ตัวที่ไม่ใช่ common value ทั้งหมด) พวกนี้ เขาเลือกมาให้เรา หรือว่า ให้เราเลือกเองครับ?

พวก a,b,c,... ให้เราเลือกได้เอง ซึ่งก็ต้องเลือกเพื่อให้ x เป็น common value
ดังนั้น x แต่ละตัว ก็จะมี a,b,c,... ที่ไม่เหมือนกันไปเรื่อยๆ

ขอบคุณครับ

[TitanTS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

คือจะทราบได้อย่างไรว่าแต่ละแบบจากการสร้างแบบนี้ มันจะได้คำตอบที่แตกต่างกันครับ?

คืองี้ครับ (ไม่ค่อนแน่ใจนะครับว่าคุณงงตรงไหน)
คำตอบของผมเป็น
$a^2\pm ab = sq.$
$a = (u^2 + v^2) ,$
$b = 4uv(u-v)(u+v)$
$ีu,v \in \mathbb{N} $
ที่นี้เราต้องการให้ได้ $a$ ร่วมกัน เราก็แค่หา $(u,v)$ หลายตัวที่ไม่เท่ากัน แต่ $u^2+v^2$ เท่ากันออกมา

สมมุติว่าเรามี
$a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2=a_3^2+b_3^2=....=a_n^2+b_n^2$
ซึ่งไม่มี $(a_i,b_i)$ อันใดเหมือนกัน
เราแทน
$a = a_1^2+b_1^2 , b=4a_1b_1(a_1^2-b_1^2)...(1)$
$a = a_2^2+b_2^2 , b=4a_2b_2(a_2^2-b_2^2)...(2)$
...
$a = a_n^2+b_n^2 , b=4a_nb_n(a_n^2-b_n^2)...(n)$
เราก็จะสร้างสมการได้ n สมการ

ทีนี้ผมเอา $(c^2 + d^2)$ คูณตลอด
$(c^2+d^2)(a_1^2+b_1^2)=(ca_1+db_1)^2+(cb_1-da_1)^2=(cb_1+da_1)^2+(ca_1-db_1)^2$
$=(c^2+d^2)(a_2^2+b_2^2)=(c^2+d^2)(a_3^2+b_3^2)=(c^2+d^2)(a_n^2+b_n^2)$
พอแทน
ี$u=ca_i+db_i , v=cb_i-da_i$
หรือ
$u=cb_i+da_i,v=ca_i-db_i$
ซึ่งถ้าถามว่ามันจะแตกต่างกันหมดไหม
ก็อาจจะไม่แต่ผมมั่นใจว่ามั่นใจว่าต้องสร้างสมการได้มากกว่า n+1 สมการแนนอน
ดังนั้นสมการจะสร้างกี่สมการก็ได้

[Little Penguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TitanTS

คืองี้ครับ (ไม่ค่อนแน่ใจนะครับว่าคุณงงตรงไหน)
คำตอบของผมเป็น
$a^2\pm ab = sq.$
$a = (u^2 + v^2) ,$
$b = 4uv(u-v)(u+v)$
$ีu,v \in \mathbb{N} $
ที่นี้เราต้องการให้ได้ $a$ ร่วมกัน เราก็แค่หา $(u,v)$ หลายตัวที่ไม่เท่ากัน แต่ $u^2+v^2$ เท่ากันออกมา

สมมุติว่าเรามี
$a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2=a_3^2+b_3^2=....=a_n^2+b_n^2$
ซึ่งไม่มี $(a_i,b_i)$ อันใดเหมือนกัน
เราแทน
$a = a_1^2+b_1^2 , b=4a_1b_1(a_1^2-b_1^2)...(1)$
$a = a_2^2+b_2^2 , b=4a_2b_2(a_2^2-b_2^2)...(2)$
...
$a = a_n^2+b_n^2 , b=4a_nb_n(a_n^2-b_n^2)...(n)$
เราก็จะสร้างสมการได้ n สมการ

ทีนี้ผมเอา $(c^2 + d^2)$ คูณตลอด
$(c^2+d^2)(a_1^2+b_1^2)=(ca_1+db_1)^2+(cb_1-da_1)^2=(cb_1+da_1)^2+(ca_1-db_1)^2$
$=(c^2+d^2)(a_2^2+b_2^2)=(c^2+d^2)(a_3^2+b_3^2)=(c^2+d^2)(a_n^2+b_n^2)$
พอแทน
ี$u=ca_i+db_i , v=cb_i-da_i$
หรือ
$u=cb_i+da_i,v=ca_i-db_i$
ซึ่งถ้าถามว่ามันจะแตกต่างกันหมดไหม
ก็อาจจะไม่แต่ผมมั่นใจว่ามั่นใจว่าต้องสร้างสมการได้มากกว่า n+1 สมการแนนอน
ดังนั้นสมการจะสร้างกี่สมการก็ได้

ผมงงตรงที่ว่ามันจะได้มากกว่า n+1 สมการแน่ๆหรือเปล่านี่แหละครับ ส่วนตัวก็คิดว่าจริงเหมือนกัน แต่ไม่รู้จะแสดงยังไง ผมก็เลยเลี่ยงมาเป็นแบบวิธีของผม

[TitanTS]

^
^
แล้วคุณคิดว่าได้ไงอะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

สำหรับ ข้อ 7
เราเลือก $\displaystyle x=5^{4n}$
เราสามารถแสดงได้ว่า $5^{2n}$ สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวก 2 จำนวนได้อย่างน้อย $n$ แบบที่แตกต่างกัน
ให้ $\displaystyle 5^{2n}=x_i^2+y_i^2$ เมื่อ $i=1,2,\cdots,n$ โดยที่ $x_i>y_i>0$ และ $\left\{x_i,y_i\right\}\not=\left\{x_j,y_j\right\}$ สำหรับ $i\not =j$ ใดๆ

เลือก $\displaystyle a_i=4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)$
สังเกตว่า $\displaystyle x=5^{4n}=\left(x_i^2+y_i^2\right)^2$

จาก $\displaystyle x^2\pm a_ix=\left(\left(x_i^2\pm 2x_iy_i-y_i^2\right) \left(x_i^2+y_i^2\right)\right)^2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เราจึงเลือก $x,a_i$ ได้ตามที่โจทย์ต้องการ

ผมว่าแนวคิดผมก็คงคล้ายกับการพิสูจน์ของคุณนะครับ
สังเกตว่า $5^2=3^2+4^2=5^2+0^2$ แต่ใช้แทน $u,v$ ได้แค่ $5^2=3^2+4^2$
ทีนี้เอา $5^2$ มาคูณได้
$(5^2)(5^2)=(3^2+4^2)(3^2+4^2)=(3^2+4^2)(5^2+0^2)$
$=(3*3+4*4)^2+(3*4-4*3)^2= (3*4+4*3)^2+(4*4-3*3)^2=(3*5+0)^2+(5*4-0)^2=(4*5+0)^2+(3*5-0)^2$
$=25^2+0^2=24^2+7^2=15^2+20^2=15^2+20^2$
ซึ่งจะเห็นได้ว่ามันก็มี ซ้ำกันบ้างแต่การคูณคู่หนึ่งน่าจะทำให้เราได้คู่ $(u,v)$ ที่ต่างกันอย่างน้อยคู่หนึ่ง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

สำหรับข้อ 9 สังเกตว่า
$$x^2\pm a_ix=sq.\Leftrightarrow \left(\frac{x}{a_i}\right)^2\pm\frac{x}{a_i}=sq.\Leftrightarrow b_i^2x^2\pm b_ix=sq.$$
เมื่อ $\displaystyle b_i=\frac{1}{a_i}$
ดังนั้น ในทำนองเดียวกับข้อ 7 เราเลือก $x=5^{4n}=\left(x_i^2+y_i^2\right)^2$, $\displaystyle b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$

ข้อนี้ผมก็อยากจะตอบอย่างงีเหมือนกันครับแต่มันติดตรงที่คุณ Switchgear เขาบอกว่าเน้นใน $\mathbb{N} $ ดังนั้น เราก็ต้องหาต่อไปว่า $b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$ จะเป็นจำนวนนับเมื่อใดบ้าง

[Little Penguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TitanTS

^
^
แล้วคุณคิดว่าได้ไงอะครับ

ผมว่าแนวคิดผมก็คงคล้ายกับการพิสูจน์ของคุณนะครับ
สังเกตว่า $5^2=3^2+4^2=5^2+0^2$ แต่ใช้แทน $u,v$ ได้แค่ $5^2=3^2+4^2$
ทีนี้เอา $5^2$ มาคูณได้
$(5^2)(5^2)=(3^2+4^2)(3^2+4^2)=(3^2+4^2)(5^2+0^2)$
$=(3*3+4*4)^2+(3*4-4*3)^2= (3*4+4*3)^2+(4*4-3*3)^2=(3*5+0)^2+(5*4-0)^2=(4*5+0)^2+(3*5-0)^2$
$=25^2+0^2=24^2+7^2=15^2+20^2=15^2+20^2$
ซึ่งจะเห็นได้ว่ามันก็มี ซ้ำกันบ้างแต่การคูณคู่หนึ่งน่าจะทำให้เราได้คู่ $(u,v)$ ที่ต่างกันอย่างน้อยคู่หนึ่ง



ข้อนี้ผมก็อยากจะตอบอย่างงีเหมือนกันครับแต่มันติดตรงที่คุณ Switchgear เขาบอกว่าเน้นใน $\mathbb{N} $ ดังนั้น เราก็ต้องหาต่อไปว่า $b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$ จะเป็นจำนวนนับเมื่อใดบ้าง

ก็คือว่า แล้วจะแสดงยังไงให้เป็นรูปธรรมว่ามันจะมีชุดที่มันแตกต่างกันจริงๆล่ะครับ? เพราะที่ผมแสดงก็คือถึงแม้มันอาจจะมีซ้ำกันบ้างก็ตาม แต่เราสามารถแสดงได้ว่า มีชุดจำนวนเต็มบวก $x_i,y_i$ ที่ $5^{2n}=x_i^2+y_i^2$ และ $5^{i-1}||x_i,5^{i-1}||y_i$ นั่นคือจะมีจำนวนชุดที่แตกต่างกันอย่างน้อย $n$ ชุดครับ

ส่วนข้อ 9 ขอเวลาไปทำก่อนครับ ตอนแรกนึกว่าโจทย์ต้องการคำตอบใน $\mathbb{Q}$
ป.ล. $b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$ ไม่เป็นจำนวนเต็มอยู่แล้วครับ เพราะส่วนมีค่ามากกว่า 1

[TitanTS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

ก็คือว่า แล้วจะแสดงยังไงให้เป็นรูปธรรมว่ามันจะมีชุดที่มันแตกต่างกันจริงๆล่ะครับ?

ตรงนี้ผมคิดว่าไม่น่าจะมีคุ่ $c,d$ ที่เอา $c^2+d^2$ คูณเข้าไปแล้วยังทำให้ได้ $u^2+v^2$ น้อยกว่า n ชุดเดิม หรือถ้ามีผมก็แค่เปลี่ยน $c,d$ เป็นคู่อื่นซะ แต่มันติดตรงที่รูปการพิสูจน์สวยๆ ที่ยังคิดไม่ออก

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

เพราะที่ผมแสดงก็คือถึงแม้มันอาจจะมีซ้ำกันบ้างก็ตาม แต่เราสามารถแสดงได้ว่า มีชุดจำนวนเต็มบวก $x_i,y_i$ ที่ $5^{2n}=x_i^2+y_i^2$ และ $5^{i-1}||x_i,5^{i-1}||y_i$ นั่นคือจะมีจำนวนชุดที่แตกต่างกันอย่างน้อย $n$ ชุดครับ

ตรงนี้ผมก็อยากเห็นครับช่วยแสดงให้ดูชัดๆ หน่อยได้ไหม

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

ส่วนข้อ 9 ขอเวลาไปทำก่อนครับ ตอนแรกนึกว่าโจทย์ต้องการคำตอบใน $\mathbb{Q}$
ป.ล. $b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$ ไม่เป็นจำนวนเต็มอยู่แล้วครับ เพราะส่วนมีค่ามากกว่า 1

เหยยย สงสังมองคอมนานไปหน่อยเลยตาลายไปบ้างครับโทษทีโทษที

[Little Penguin]

Lemma: มีชุดจำนวนเต็มบวก $x_i,y_i$ ที่ $5^{2n}=x_i^2+y_i^2$ และ $5^{i-1}||x_i,5^{i-1}||y_i$ เมื่อ $i=1,2,\cdots n$

จะพิสูจน์โดยการอุปนัย
กรณี $n=1$ จาก $5^2=4^2+3^2$ ได้ว่าขั้นฐานเป็นจริง

ต่อไปให้เมื่อ $n=k$ เป็นจริง
สมมติว่า $5^{2k}=a_i^2+b_i^2$ โดยที่ $5^{i-1}||a_i,5^{i-1}||b_i$ เมื่อ $i=1,2,\cdots k$
ให้ $x_{i+1}=5a_i,y_{i+1}=5b_i$ เมื่อ $i=1,2,\cdots k$ (พูดง่ายๆก็คือ $x_2=5a_1,x_3=5x_2,y_2=5b_1,y_3=5b_2$ ไปเรื่อยๆ)
จะได้ว่า $5^{2k+2}=x_i^2+y_i^2$ และ $5^{i-1}||x_i,y_i$ เมื่อ $i=2,3,\cdots k+1$

คราวนี้ สังเกตว่า $5^{2k+2}=(4^2+3^2)(a_1^2+b_1^2)=(4a_1+3b_1)^2+(4b_1-3a_1)^2=(4a_1-3b_1)^2+(4b_1+3a_1)^2$
แสดงได้ว่า $5\not | (4a_1+3b_1) \vee 5\not | (4a_1-3b_1) $ เราก็ให้ตัวที่ 5 หารไม่ลงตัว เป็น $x_1$
สมมติว่าเป็น $x_1=4a_1+3b_1$ เราให้ $y_1=4b_1-3a_1$ เราจะได้ว่า $5\not |y_1$
นั่นคือ $5^{2k+2}=x_1^2+y_1^2$ โดยที่ $5^0||x_1,y_1$

แปลว่า ขั้นอุปนัยเป็นจริง ตามต้องการ

จาก Lemma ตรงนี้ ก็จะได้ว่า $5^{2n}$ สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวก 2 จำนวนได้อย่างน้อย $n$ แบบที่แตกต่างกัน


ป.ล. ข้อ 9 มันดูแปลกๆนะครับ เพราะว่า ถ้าให้ $a_i,x$ เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ $t=4(a^2x^2+ax)=m^2.$ ในขณะที่ $t+1=(2ax+1)^2=n^2$ แปลว่า $1=n^2-m^2$ ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $n=\pm 1,m=0$ แปลว่า $a=0\vee x=0 \vee ax=1$ ซึ่งมันดู fix คำตอบมากเกินไป

[TitanTS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

คราวนี้ สังเกตว่า $5^{2k+2}=(4^2+3^2)(a_1^2+b_1^2)=(4a_1+3b_1)^2+(4b_1-3a_1)^2=(4a_1-3b_1)^2+(4b_1+3a_1)^2$
แสดงได้ว่า $5\not | (4a_1+3b_1) \vee 5\not | (4a_1-3b_1) $ เราก็ให้ตัวที่ 5 หารไม่ลงตัว เป็น $x_1$
สมมติว่าเป็น $x_1=4a_1+3b_1$ เราให้ $y_1=4b_1-3a_1$ เราจะได้ว่า $5\not |y_1$
นั่นคือ $5^{2k+2}=x_1^2+y_1^2$ โดยที่ $5^0||x_1,y_1$

ช่วยอีกหน่อยสิครับผม ยังไม่ค่อยเข้าใจตรงนี้อะครับ
Edit:ไม่มีอะไรครับ เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมาก ผมแค่สับสนในตัวเอง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin

ป.ล. ข้อ 9 มันดูแปลกๆนะครับ เพราะว่า ถ้าให้ $a_i,x$ เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ $t=4(a^2x^2+ax)=m^2.$ ในขณะที่ $t+1=(2ax+1)^2=n^2$ แปลว่า $1=n^2-m^2$ ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $n=\pm 1,m=0$ แปลว่า $a=0\vee x=0 \vee ax=1$ ซึ่งมันดู fix คำตอบมากเกินไป

ผมก็มองมาตั้งแต่เช้าแล้วครับยังไม่ได้อะไรมากกว่าเดิมเลย ผมก็เลยขอให้เขาแสดงตัวอย่างคำตอบมานี้อะครับคิดว่า ผมอาจจะเข้าใจโจทย์ผิดอะครับ

[Little Penguin]

ก็ ถ้า $5\not | x_1$ แต่ $5|y_1$ ก็จะได้ $5\not|x_1^2+y_1^2=5^{2k+2}$ ซึ่งมันไม่จริงอยู่แล้วครับ

[Switchgear]

คำตอบสำหรับ Problem 9 ผมอาจตอบไม่ชัดเจน ทำให้คุณ TitanTS กับคุณ Little Penguin สับสน
ความจริงคือ x ที่โจทย์ต้องการหานั้นเป็นจำนวนเต็ม แต่ว่า a, b, c, ... เป็นจำนวนอตรรกยะครับ :-)

เท่าที่ดูคร่าวๆ ผมคิดว่าคำตอบข้างต้นน่าจะใช้ได้แล้ว (a, b, c, ... ไม่ต้องเป็นจำนวนเต็มเหมือนกับ x)

[Switchgear]

ตามที่เขาเฉลยไว้ Problem 6 กับ 8 จะเป็นโจทย์คู่กัน แตกต่างเล็กน้อย

ส่วน Problem 7 กับ 9 จะเป็นโจทย์คู่กัน คือ ข้อ 9 อาศัยผลจากข้อ 7
ต่างกันตรงที่ข้อ 7 มี a, b, c, ... เป็นจำนวนเต็ม ส่วนข้อ 9 เป็นตรรกยะ
แต่ว่า x เป็นจำนวนเต็มทั้งข้อ 7 และข้อ 9