แก้สมการนี้ให้หน่อยคับ

[nattaphon]

$$\sin(\arcsin(x)-2\arccos(-x)) = \frac{1}{2}$$


ขอบคุณล่วงหน้านะคับ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nattaphon

$$\sin(\arcsin(x)-2\arccos(-x)) = \frac{1}{2}$$


ขอบคุณล่วงหน้านะคับ

ขออภัยที่ผมหาคำตอบให้ไม่ได้ในทันทีเพราะต้องอ่านหนังสือสอบ ลองดูแนวคิดมั่งก็ดีครับ

Hint

ให้ $A= arcsin(x) , B= 2arccos(-x)$
พิจารณามุม $2arccos(\pi -x) ให้เป็นมุม B
$take cos$ ลงไป
จะได้ $sin(arccosx)=cosB$
หรือ $sinA=cosB$ นั่นเอง *** (โทษทีเพิ่งรู้ตัว เผลอไปเอามุมคูณเข้าเดี๋ยวเช้าๆมาแก้ให้ใหม่นะครับ เมามากตอนนี้)
จะถูกหรือไม่ หากผิดพลาดประการใดโปรผู้รู้ช่วยชี้แนะครับ

[Onasdi]

เรารู้ว่า $\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}$ และ $\arccos(-x)=-\arccos(x)$ ครับ ลองดูนะครับ

[nattaphon]

$$
\begin{array}{rcl}
\sin(\arcsin(x) - 2\arccos(-x)) & = & \frac{1}{2} \\
\arcsin(x) - 2\arccos(-x) & = & \arcsin(\frac{1}{2}) \\
\arcsin(x) - 2[-\arccos(x)] & = & \frac{\Pi}{6} \\
\arcsin(x) + 2\arccos(x) & = & \frac{\Pi}{6} \\
\arcsin(x) + \arccos(x) + \arccos(x) & = & \frac{\Pi}{6} \\
\frac{\Pi}{2} + \arccos(x) & = & \frac{\Pi}{6} \\
\arccos(x) & = & -\frac{\Pi}{3} \\
x=\frac{1}{2}
\end{array}$$

เพราะว่า arccos จะหาค่าได้ในช่วง 0ถึงpi ได้แล้วคับ ขอบคุณสำหรับคำชี้แนะนะคับ

[Onasdi]

จริงๆแล้วบรรทัดที่สองไม่ถูกซะทีเดียวนะครับ เพราะว่า ถ้า $\sin x = \frac{1}{2}$ แล้ว $x$ เป็นค่าอื่นได้อีกนอกจาก $\frac{\pi}{6}$

ผมคิดว่าทำอย่างนี้น่าจะดีกว่า
$\sin(\arcsin(x) - 2\arccos(-x))=\sin(\frac{\pi}{2}+\arccos(x))=ฃcos(\arccos(x))=x$ เลยได้ x เป็น 1/2 ครับ

[Aermig]

$-\frac{\pi }{2}\leqslant $arcsin($x$)$\leqslant \frac{\pi }{2} $
$0\leqslant $arccos($x$)$\leqslant \pi $
ดังนั้น $-\frac{3\pi }{2}\leqslant $arcsin($x$)-$2$arccos($x$)$\leqslant \frac{\pi }{2} $

เนื่องจาก sin(arcsin($x$)-$2$arccos($x$))=$\frac{1}{2} $
จะได้ว่า arcsin($x$)-$2$arccos($x$)=$\frac{\pi }{3} , -\frac{4\pi }{3} , -\frac{5\pi }{3} $

แต่ arccos($x$)+arcsin($x$)=$\frac{\pi }{2} $ จึงได้ว่า 3arcsin($x$)-$\pi $=$\frac{\pi }{3} , -\frac{4\pi }{3} , -\frac{5\pi }{3} $

arcsin($x$)=$\frac{4\pi }{9} , -\frac{\pi }{9} , -\frac{2\pi }{9} $

หรือเปล่าครับ

[[SIL]]

อะไรกันเนี่ยทุกท่านเข้าใจผิดหรือเปล่าครับ
arcsin(-x)=-arcsin(x) ไม่เถียง แต่ arccos(-x)=-arccosx มันผิดนะครับ
ความจริงแล้ว $arccos(-x) = \pi-arccosx$ ต่างหาก ไว้ผมจะลองแก้ดูนะครับหากผมเข้าใจถูก

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aermig

เนื่องจาก sin(arcsin($x$)-$2$arccos($x$))=$\frac{1}{2} $
จะได้ว่า arcsin($x$)-$2$arccos($x$)=$\frac{\pi }{3} , -\frac{4\pi }{3} , -\frac{5\pi }{3} $

ลอกโจทย์ผิดครับ ต้องเป็น $-2\arccos(-x)$ ครับ

[Aermig]

ครับ ผมคงจะเบลอๆนิดหน่อย ลืมดูว่าข้างในเป็นลบ
แฮ่ๆๆๆ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

อะไรกันเนี่ยทุกท่านเข้าใจผิดหรือเปล่าครับ
arcsin(-x)=-arcsin(x) ไม่เถียง แต่ arccos(-x)=-arccosx มันผิดนะครับ
ความจริงแล้ว $arccos(-x) = \pi-arccosx$ ต่างหาก ไว้ผมจะลองแก้ดูนะครับหากผมเข้าใจถูก

โอ้ ใช่แล้วครับน้อง [SIL] ผมมั่วครับ ต้องเป็น $\arccos(-x) = \pi-\arccos(x)$
งั้นก็จะต้ิองเป็น $\sin(\arcsin(x) - 2\arccos(-x))=\sin(2\pi+\frac{\pi}{2}+\arccos(x))=\cos(\arccos(x))=x$ เลยได้ $x=\frac{1}{2}$ ครับ