50th IMO 2009, เบรเมน เยอรมนี

[MYSTICA]

ข้อ 1. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และให้ $a_1, \dots, a_k \ (k \geq 2)$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ซ้ำกันจากเซต $\{1, \dots, n\}$ โดยที่ $n$ หาร $a_i(a_{i+1}-1)$ ลงตัวสำหรับ $i = 1, \dots, k-1$ จงพิสูจน์ว่า $n$ หาร $a_k(a_1-1)$ ไม่ลงตัว

ข้อ 2. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มี $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงล้อม จุด $P$ และ $Q$ เป็นจุดภายในที่อยู่บนด้าน $CA$ และ $AB$ ตามลำดับ ให้ $K, L$ และ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง $BP, CQ$ และ $PQ$ ตามลำดับ และให้ $\Gamma$ เป็นวงกลมที่ผ่านจุด $K, L$ และ $M$ สมมติให้เส้น $PQ$ สัมผัสกับวงกลม $\Gamma$ จงพิสูจน์ว่า $OP = OQ$

ข้อ 3. สมมติให้ $s_1, s_2, s_3, \dots$ เป็นลำดับเพิ่มโดยแท้ของจำนวนเต็มบวก โดยที่ลำดับย่อย
$$s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots \ \text{และ} \ \ s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots $$ ทั้งคู่ต่างเป็นลำดับเลขคณิต จงพิสูจน์ว่า $s_1, s_2, s_3, \dots$ เป็นลำดับเลขคณิตเช่นกัน

(ที่มาของโจทย์: ข้อ 1 Ross Atkins ออสเตรเลีย; ข้อ 2 Sergei Berlov รัสเซีย; ข้อ 3 Gabriel Carroll สหรัฐอเมริกา; ข้อ 4 Jan Vonk, Peter Vandendriessche เบลเยียม และ Hojoo Lee เกาหลีใต้; ข้อ 5 Bruno Le Floch ฝรั่งเศส; ข้อ 6 Dmitry Khramtsov รัสเซีย)

ข้อสอบทั้งหมด สามารถดูได้จาก http://www.imo-official.org/problems.aspx แล้วครับ

[RoSe-JoKer]

ได้ยินมาว่าข้อ 1,2,4 ปีนี้ง่ายมาก...ส่วนตัวยังไม่ได้ทำข้อ 2 แต่ข้อ 1 กับข้อ 4 ปีนี้ก็ง่ายจริงๆ (คาดว่าเป็นเพียงแค่โจทย์ระดับ TMO เท่านั้น)
ปีนี้รอดูคุณ Seemmeriast ได้เหรียญทองได้เลยครับ :-)

[nongtum]

ไม่ว่างพิมพ์ใหม่ เลยขอแว้บมาแนบไฟล์ภาพข้อสอบวันที่สองที่หัวกระทู้ก่อนครับ (ขออภัยที่แก้ไขข้อความของคุณ MYSTICA มา ณ ที่นี้)

ใครจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับข้อสอบเพิ่มเติม พิมพ์โจทย์ใหม่ หรือแปะวิธีทำ ก็เชิญได้เลยครับ

[nooonuii]

ข้อ 1 นี่น่าจะง่ายจริงๆ ขนาดผมยังทำได้เลย

สมมติว่า $a_k \equiv a_ka_1\pmod{n}$

จากเงื่อนไขโจทย์จะได้

$a_1\equiv a_1a_2\pmod{n}$

$a_2\equiv a_2a_3\pmod{n}$

$\vdots$

$a_{k-1}\equiv a_{k-1}a_k\pmod{n}$

ดังนั้น

$a_1\equiv a_1a_2\equiv a_1a_2a_3\equiv\cdots\equiv a_1a_2\cdots a_k\pmod{n}$

ในขณะเดียวกัน

$a_k\equiv a_ka_1\equiv a_ka_1a_2\equiv\cdots\equiv a_ka_1a_2\cdots a_{k-1}\pmod{n}$

ดังนั้น $a_1\equiv a_k\pmod{n}$

แต่ $0<|a_1-a_k|< n$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง

ส่วนข้ออื่นขอนั่งดูตาปริบๆละกัน

[Juniors]

Congratulation !!! ไทยได้ที่ 7 โลก
http://www.imo-official.org/year_ind...aspx?year=2009
ทอง 1 เงิน 5 เสียดายพี่พงศ์ภัคจังเลยครับ

[MYSTICA]

เป็นที่น่ายินดีจริงๆ ครับ
ขอปรบมือให้ดังๆ ด้วยความชื่นชม ขอบคุณทีมคณิตศาสตร์โอลิมปิกของไทยที่ทำให้เรารู้สึกภาคภูมิใจได้อย่างไม่น้อยหน้าใครเลยครับ

[คusักคณิm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Juniors

Congratulation !!! ไทยได้ที่ 7 โลก
http://www.imo-official.org/year_ind...aspx?year=2009
ทอง 1 เงิน 5 เสียดายพี่พงศ์ภัคจังเลยครับ

เหมือน คุณ สุธี ปีที่แล้วเลย

ยินดีด้วยครับ :P

[nooonuii]

ขอแสดงความยินดีักับน้องๆทุกคนด้วยครับ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ได้ยินมาว่าข้อ 1,2,4 ปีนี้ง่ายมาก...ส่วนตัวยังไม่ได้ทำข้อ 2 แต่ข้อ 1 กับข้อ 4 ปีนี้ก็ง่ายจริงๆ (คาดว่าเป็นเพียงแค่โจทย์ระดับ TMO เท่านั้น)
ปีนี้รอดูคุณ Seemmeriast ได้เหรียญทองได้เลยครับ :-)

ข้อ 5 ก็ดูเหมือนว่าจะไม่ยากมากนะครับ ลองทำดูแล้ว ก็อยู่ในระดับพอทำได้...
แต่ข้อ 6 นี่... เท่าที่ดูคะแนนของคนที่แข่ง IMO จริง มันดูเหมือนว่าจะ...

[phoenixs]

ผมทำข้อเราขาข้อ 2 ได้เเล้วคับ
555

[คusักคณิm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ phoenixs

ผมทำข้อเราขาข้อ 2 ได้เเล้วคับ
555

ทำให้ดูหน่อยได้ป่ะครับ

โดยส่วนตัว ได้คำตอบ ข้อ4 แล้ว แต่ไม่แน่ใจครับ(กดctrl A)

$90^oและ60^o$

[phoenixs]

ผมได้ว่า (BQ)(AQ)=(AP)(PC) เเล้วก็จะพิสูจน์ได้ว่า OP=OQ
โดยใช้ปิทาโกรัสธรรมาดาอะครับ

[คusักคณิm]

$ AP/AQ = MK/ML = BQ/PC $
$AP·PC = AQ·BQ$
$FP·EP = EQ·QF $
$EQ=FP$
Oอยู่ แนว ที่ แบ่งมุม ของQP
$OQ=OP$

[Jew]

วิธีทำข้อสองน่าจะผิดแต่ผิดตรงไหนไม่ทราบ
เพราะว่าข้อ 2.ผมว่าไม่น่าจะง่ายขนาดนี้นะครับ
แต่ถ้าวิธีทำถูกระดับของ IMOปีนี้ นี่มัน.....

[คusักคณิm]

hint
ข้อ4 ลอง แบ่ง CH เป็น 2 ส่วน HDC และ HMCจะเท่ากัน เพราะฉะนั้น$ ∠HMK = ∠HDK = 45^o$