ช่วยทีครับ หา (a,b)

[DoubleA1412]

Find all ordered pairs $(a, b)$ of positive integers such that $a\mid b^2+1$ and $b\mid a^2 +1$,
and $a\leq b\leq 2012.$

ไม่รู้จะเริ่มยังไงดี ขอบคุณมากครับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

If. (x,y). True then. $(y,y^2+1/x)$ . Is true

[kongp]

น่าจะใช้ mathematica พล็อตกราฟออกมาดูนะครับ โดยใส่ for loop

[AnDroMeDa]

แนวคิดคร่าวๆ :
ควรจะแสดงว่า ถ้า$ab|(a^2+b^2+1)$ แล้ว $a^2+b^2+1=3ab$ เท่านั้น
เห็นได้ชัดว่า$(a,b)=(1,1)$ เป็นคำตอบ จากนั้น ถ้า $(x,y),x>y$ เป็นคำตอบของสมการนี้ จะได้ว่า $(y,3y-x)$ เป็นคำตอบด้วย พิสูจน์ให้ได้ว่า $x>2y\Rightarrow y>3y-x$ ดังนั้นคำตอบใหม่ก็จะมี y เป็นคำตอบด้วย(ซึ่งเป็นคำตอบค่าน้อย) ทำไปทำมาจะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิด
คำตอบทั้งหมดเป็น $(a_{n+1},b_{n+1})=(b_n,3b_n-a_n)$ โดย $(a_1,b_1)=(1,1)$
หรือลำดับ $a_n,b_n$ สอดคล้องกับ $x_{n+1}=3x_n-x_{n-1},x_1=1,x_2=2$ ซึ่งก็คือลำดับฟีโบนักชีพจน์ที่เป็นจำนวนคี่
$\therefore (a,b)=(1,1),(F_{2n-1},F_{2n+1}),\forall n\in \mathbb{N} $ ($\because a\leqslant b$) จะได้

All solutions are...

$(a,b)=(1,1),(1,2),(2,5),(5,13),(13,34),(34,89),(89,233),(233,610),(510,1597) \square$

ขอบคุณแนวคิดจาก Credit:An Introduction to Diophantine Equations A Problem-Based Approach by Titu Andreescu